Lagrange乘子法 前面我们讨论了完整约束体系，对于这样的体系不独立坐标可以通过约束方 程（或者引入广义坐标）加以消除。如果约束是非完整的，我们就无法通过约束 方程达到消除不独立坐标的目的。没有一般性的方法处理非完整约束问题，但是， 对于一类特殊的非完整约束，也就是线性微分约束，尽管无法通过约束方程消去 不独立坐标，但是我们却可以通过引入Lagrange乘子消去不独立的方程。 现在我们就考虑受到约束方程有如下形式的一个力学体系 Ak9k+A,=0,or Axdqk+Adt=0（v=1,2,…,m)(1) 这里，n是坐标的数目，m是约束的数目，并且n>m;Ak和A,都只是坐标 和时间的函数。 无论上面的方程是否可积都不会影响我们后面的讨论：这些讨论对于完整约 束和非完整约束同样有效。因此，如果不方便把所有的坐标都化为独立变量，或 者如果你想要考虑约束效应，那么，下面推导的Lagrange乘子方法也适用于完 整约束体系。例如，对于约束f(9,t)=0,两边对时间求微商就变为（可积） 微分约束的形式∑(@j/qk)9.+0f/t=0(这也正是我们把完整约束有 时也称为可积约束的原因)。这时Ak=f/aqk,A=Of/at。 象上一节推导完整约束体系的Lagrange方程一样，我们仍然从最小作用原理 出发 6S=6f2L(g,gr）)dh=0 (2) 我们假定它对于非完整约束也是正确的。因此，完全类似于以前的推导，我们有 dt=0 (3) 这里q,不是独立的，从而变分（或者虚位移）δ9k也不能任意取值，所以我 第1页，共9页
Lagrange 乘子法 前面我们讨论了完整约束体系，对于这样的体系不独立坐标可以通过约束方 程（或者引入广义坐标）加以消除。如果约束是非完整的，我们就无法通过约束 方程达到消除不独立坐标的目的。没有一般性的方法处理非完整约束问题，但是， 对于一类特殊的非完整约束，也就是线性微分约束，尽管无法通过约束方程消去 不独立坐标，但是我们却可以通过引入 Lagrange 乘子消去不独立的方程。 现在我们就考虑受到约束方程有如下形式的一个力学体系 Avk k vt q A A dq A dt v m + = 0, or vk k vt + = = 0 1,2, , ( " ) (1) 这里，n 是坐标的数目，m是约束的数目，并且 ； n m> Avk 和 Avt 都只是坐标 和时间的函数。 无论上面的方程是否可积都不会影响我们后面的讨论：这些讨论对于完整约 束和非完整约束同样有效。因此，如果不方便把所有的坐标都化为独立变量，或 者如果你想要考虑约束效应，那么，下面推导的 Lagrange 乘子方法也适用于完 整约束体系。例如，对于约束 f qt ν ( , ) = 0，两边对时间求微商就变为（可积） 微分约束的形式 ( ) 0 k k k f q q f t ν ν ∑ ∂ ∂ +∂ ∂ = （这也正是我们把完整约束有 时也称为可积约束的原因）。这时 A f k k q ν ν = ∂ ∂ ， A t f t ν ν = ∂ ∂ 。 象上一节推导完整约束体系的 Lagrange 方程一样，我们仍然从最小作用原理 出发 ( ) (2) 2 1 0 t t δ δ S L q q t dt = ,, ∫ = 我们假定它对于非完整约束也是正确的。因此，完全类似于以前的推导，我们有 2 1 0 t k t k k L dL q dt q dt q δ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎢⎜ ⎟ − = ∂ ∂ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∫ ⎥ (3) 这里 不是独立的，从而变分（或者虚位移） i q k δ q 也不能任意取值，所以我 第 1 页，共 9 页
们从上面的积分等于零也不再能得到通常形式的Lagrange方程。跟上一节不同 的是，你无法通过约束方程把不独立的变量消去。为了把变分约化为独立的形式， 我将在下面引入可任意选取的m个Lagrange乘子入，（v=l,2,…,m),一般 情况下，入，是坐标9：、速度4，和时间t的函数。由于变分运算是在固定的时间 操作的（等时变分），也就是说6t=0,因此，变分满足下面的条件（正如完全 约束中我们得到虚位移所满足的方程一样的道理) Akδqk=0 (4) 实际上，这个条件仅仅对于完整约束（当然也就包含可积分的微分约束）才是成 立的，而对于一般的不可积线性微分约束，你可以认为我们仅仅考虑限于使得上 式成立的那些想象路线，而所谓最小也是在满足个关系的所有路径当中而言的。 这个方程左右两边都乘上任意函数入.也是成立的，把所有这样得到的方程相加 (对V求和) 人，Akδqk=0 (5) 或者把求和重新安排并从t,到t,对时间积分 ∫[(2A)g]dt=0 (6) 现在我手上由两个等于零的积分，(3)和(6)，把这两个积分相加显然也是等于 零的 (7) 这个积分涉及到n个变量q::其中m个9k是不独立的，它们通过约束方程与其 它的q.相联系。我们将假设这m个不独立变量为qk(指标从1到m取值)，而 n-m个独立变量为qk(指标从m+1到n取值，这样做并不影响下面分析得 到的结论)。由于m个Lagrange乘子入.可以取任何函数，因此，我总是可以找 到适当的入.使得下面的方程成立 第2页，共9页
们从上面的积分等于零也不再能得到通常形式的 Lagrange 方程。跟上一节不同 的是，你无法通过约束方程把不独立的变量消去。为了把变分约化为独立的形式， 我将在下面引入可任意选取的 个m Lagrange 乘子λv , 1,2, , (v m = " )，一般 情况下，λv 是坐标 、速度 和时间t 的函数。由于变分运算是在固定的时间 操作的（等时变分），也就是说 i q i q δ t = 0 ，因此，变分满足下面的条件（正如完全 约束中我们得到虚位移所满足的方程一样的道理） 0 A q vk k δ = (4) 实际上，这个条件仅仅对于完整约束（当然也就包含可积分的微分约束）才是成 立的，而对于一般的不可积线性微分约束，你可以认为我们仅仅考虑限于使得上 式成立的那些想象路线，而所谓最小也是在满足个关系的所有路径当中而言的。 这个方程左右两边都乘上任意函数λv 也是成立的，把所有这样得到的方程相加 （对 求和） v 0 λv vk k A q δ = (5) 或者把求和重新安排并从 到 对时间积分 1 t 2t ( ) 2 1 0 t v vk k t ⎡ ⎤ λ δ A q dt = ∫ ⎣ ⎦ (6) 现在我手上由两个等于零的积分，(3)和(6)，把这两个积分相加显然也是等于 零的 2 1 0 t v vk k t k k L dL A q dt q dt q λ δ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎢⎜ ⎟ − + ∂ ∂ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∫ ⎥ = (7) 这个积分涉及到 个变量 ：其中 个 是不独立的，它们通过约束方程与其 它的 相联系。我们将假设这 个不独立变量为 （指标从1到 取值），而 个独立变量为 （指标从 n k q m k q k q m k q m n m− k q m +1到 取值，这样做并不影响下面分析得 到的结论）。由于 个 Lagrange 乘子 n m λv可以取任何函数，因此，我总是可以找 到适当的λv使得下面的方程成立 第 2 页，共 9 页
LdL+214k=0 (8) aqg dt0gk'台 (v=1,2,…,m） 即方程(7)积分中对应于前面m个不独立坐标变分的系数为零。 这样选取入.之后，方程(7)剩下的积分就是 (9) 由于这些qk(对于k=m+1,…,n)不再受到任何限制（根据我们的假定它 们是独立的)，因此，正如以前所熟悉的，上面积分中每个9k前面的系数都等于 零。这些方程连同前面得到的不独立变量的m个方程就可以统一表示为 L_dL+元4=0(v=l,2…,川） (10) 8qk dt oqk 这n个方程涉及n十m个未知量：n个坐标以及m个Lagrange乘子。m个 约束方程正好为我们提供了所需要的其余m个方程。 Lagrange乘子入.有什么样的物理含义呢？我们知道每一个质点的Newton方 程可以写为 E+N。-项=0 (11) dt 其中F=L/a而。=-7U,而币。=L/a航。=m,因此上式也可以写 为 Ldl+N。=0 (12) or,dt or, 如果把这个等式两边与。/qk作标量积并对所有的粒子（即对a)求和，那 么 aL d aL a。+N 。二0 a qk (13) a而。dt航 qk 上一节我们已经知道第一项等于 第3页，共9页
( 1 0 1,2, , m v vk k k v L dL A v ) q dt q λ = ∂ ∂ −+ = = ∂ ∂ ∑ " m (8) 即方程(7)积分中对应于前面 个不独立坐标变分的系数为零。 m 这样选取λv之后，方程(7)剩下的积分就是 2 1 1 1 0 n m t v vk k t k m k k v L dL dt A q q dt q λ δ = + = ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎜ − + ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∫ ∑ ∑ ⎟ = n (9) 由于这些 （对于 ）不再受到任何限制（根据我们的假定它 们是独立的），因此，正如以前所熟悉的，上面积分中每个 前面的系数都等于 零。这些方程连同前面得到的不独立变量的 个方程就可以统一表示为 k q k m= +1, , " k q m v vk 0 1,2, , ( k k L dL A v ) q dt q λ ∂ ∂ − += = ∂ ∂ " n (10) 这 个方程涉及 个未知量：n 个坐标以及 个 Lagrange 乘子。 个 约束方程正好为我们提供了所需要的其余 个方程。 n n m+ m m m Lagrange 乘子λv有什么样的物理含义呢？我们知道每一个质点的 Newton 方 程可以写为 0 a a a dp F N dt + − = K K K (11) 其中 F Lr a a = ∂ ∂ = −∇ K aU K ，而 a a p Lr ma a = ∂∂= r K K K ，因此上式也可以写 为 0 a a a L dL N r dt r ∂ ∂ − + = ∂ ∂ K K K (12) 如果把这个等式两边与 a ∂ ∂ r q K k 作标量积并对所有的粒子（即对 ）求和，那 么 a 0 a a a a ak k L dL r r N r dt r q q ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ − ⋅ +⋅ ⎜ ⎟ ∂ ∂∂ ∂ ⎝ ⎠ = K K K K K (13) 上一节我们已经知道第一项等于 第 3 页，共 9 页
aL d aL (14) qk dt oqk 而第二项则是广义约束力 g=N.a 。 (15) 而方程(13)必然与我们前面得到的方程(10)是一样的，所以 Q%=元Ak (16) 也就是说，Lagrange乘子人.确定了广义约束力，它本身也是问题解的一部分。 最后请大家注意这样一点：关系式（⑤）意味着 Qδqk=0 (17) 也就是说所有约束力的虚功等于零。这可以看作是理想约束假设的一般性的证 明。 举一个例子。考虑一个圆盘在倾斜平面上的纯滚动。设圆盘的质量为m,半 径为R。圆盘的动能分为两部分：平移动能和转动动能（实际上就是质心动能 和相对于质心的动能，这一点我们在质点组部分已经证明)： (18) 2 4 第二部分动能也可以直接计算得到，它等于 Svdm-SP(r0)rdrd0 2pJrdrdo 1 4 -i(pxR)R.0-imRO 第4页，共9页
k k L dL q dt q ∂ ∂ − ∂ ∂ (14) 而第二项则是广义约束力 a k a k r Q N q ∂ ′ = ⋅ ∂ K K (15) 而方程(13)必然与我们前面得到的方程(10)是一样的，所以 Qk v λ Avk ′ = (16) 也就是说，Lagrange 乘子λv确定了广义约束力，它本身也是问题解的一部分。 最后请大家注意这样一点：关系式(5)意味着 0 Q q k k ′δ = (17) 也就是说所有约束力的虚功等于零。这可以看作是理想约束假设的一般性的证 明。 举一个例子。考虑一个圆盘在倾斜平面上的纯滚动。设圆盘的质量为m，半 径为 。圆盘的动能分为两部分：平移动能和转动动能（实际上就是质心动能 和相对于质心的动能，这一点我们在质点组部分已经证明）： R 1111 22 2 2224 T mx I mx mR2 2 = += + θ θ (18) 第二部分动能也可以直接计算得到，它等于 ( ) ( ) 2 2 2 3 2 4 2 22 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 4 1 1 4 4 v dm r rdrd r drd R R R mR ρθ θ ρθ θ ρθ π 2 ρπ θ = = = ⋅⋅ =⋅ ⋅ = ∫ ∫ ∫ θ α θ R x 第 4 页，共 9 页
势能为 U=-mgxsina (19) 这里我们假设在斜面顶端圆盘的势能等于零。因此Lagrange函数为 L=T-U-m+mR0+mgxsina (20) 4 约束方程为 f(x,0)=x-R0=0 (21) 由于圆盘作纯滚动，这个体系只有一个自由度，因此我们可以选择x或者日 作为广义坐标，并利用约束方程将另一个变量消去。但是，我们也可以把x和日 都当作广义坐标，而利用Lagrange乘子法求解这个问题。此时Lagrange方程为 0= BL d oLor =mg sina-m+ Ox dt ax Ox (22) oL_d Bltir=0-ImR0-AR 1 0= 60 dt60 60 这两个方程连同约束方程x=R0就可以完全确定未知量x、日和入。把约束方 程对时间求导得到 6=/R (23) 代入前面两个方程并作简单的组合就得到 2 gsina, 8= 28 sina, =-mg sina (24) 3R 3 我们注意到如果圆盘沿着斜面无摩擦地向下滑动，那么戈=gsina。因此， 滚动约束使得加速度的值减小一个因子2/3。 根据前面的定义，广义约束力等于 mg sina Ox 3 (25) Q,-a--2R-1mgRsina ae 3 第5页，共9页
势能为 U m = − gxsinα (19) 这里我们假设在斜面顶端圆盘的势能等于零。因此 Lagrange 函数为 1 1 2 22 sin 2 4 L T U mx mR mgx =− = + + θ α (20) 约束方程为 fx x R ( ,θ ) = − = θ 0 (21) 由于圆盘作纯滚动，这个体系只有一个自由度，因此我们可以选择 x 或者θ 作为广义坐标，并利用约束方程将另一个变量消去。但是，我们也可以把 x 和θ 都当作广义坐标，而利用 Lagrange 乘子法求解这个问题。此时 Lagrange 方程为 2 0 si 1 0 0 2 L dL f mg mx x dt x x L dL f mR R dt λ nα λ λ θ λ θ θ θ ∂ ∂∂ = − + = −+ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ = − + =− − ∂ ∂∂ (22) 这两个方程连同约束方程 x = Rθ 就可以完全确定未知量 x 、θ 和λ 。把约束方 程对时间求导得到 θ = x R (23) 代入前面两个方程并作简单的组合就得到 22 1 sin , sin , sin 33 3 g x g mg R = == α θ αλ − α (24) 我们注意到如果圆盘沿着斜面无摩擦地向下滑动，那么 x = g sinα 。因此， 滚动约束使得加速度的值减小一个因子2 3。 根据前面的定义，广义约束力等于 1 sin 3 1 sin 3 x f Q mg x f Q Rmg θ λλ α λ λ α R θ ∂ = = =− ∂ ∂ = =− = ∂ (25) 第 5 页，共 9 页