3.4未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 一种求极限的简便且很有效的方法一L'Hospital法则 定理（号型L'Hospital法则：设fx)和g(x)在x,附近可微且满足 (1)lim f(x)=lim g(x)=0 x→X0 x→X0 (2)g'(x)≠0 (3)li f'(x) =1,1可以是有限实数或0. x→x g'(x) 则 lim /(x) = lim f'(x) =1. x-→x0 g(x) r→x0 8'(x) 2
2 3.4 未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 一种求极限的简便且很有效的方法—— 定理( 型 法则): 设 和 在 附近可微且满足 可以是有限实数或 则 法则
3.4未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 注1：定理中的极限可改为单侧极限（即x→x,±0），此时结论 同样成立；另一方面对于极限过程x→0，x→0或x→0 8 型未定式，也有类似的L'Hospital法则. 如：以r→x为例，设m0)=im8)=0m侧-1则 x-→6g'(x) lims (x) lim =lim =lim x→08(x) t→0 1-→0 t→0 lim f'(x=1. x→0 8'(x) 3
3 3.4 未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 注 1: 定理中的极限可改为单侧极限(即 )，此时结论 同样成立; 另一方面对于极限过程 或 型未定式，也有类似的 法则. 例如：以 为例，设 则
3.4未定式的极限 第二章】 单变量函数的微分学 注2：在使用L'Hospital法则时，如果lim x→x0 g'(x) 还是。型未定式， lim f(x)=lim g(x)=0,lim f'(x)=lim g'(x)=0, x→x0 x→x0 →X0 则可以继续考虑二阶导数，如果lim "(w）=1,则1i f)=l. x→g"(x) x→0g(X) 不管使用几次，前提条件是： 1.必须是。 型未定式； 2.后者的极限一定存在！ 注3：在使用L'Hospital法则之前，最好先用等价无穷小替换将分 分子或分母换成简单的函数， 4
4 3.4 未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 注2: 在使用 法则时，如果 还是 型未定式， 即 且 则可以继续考虑二阶导数，如果 不管使用几次，前提条件是： 则 1. 必须是 型未定式； 2. 后者的极限一定存在. 注3: 在使用 法则之前，最好先用等价无穷小替换将分 分子或分母换成简单的函数
3.4未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 e2r-1 1.lim e*+e x-2 x0 In(1+x) 2.lim e x→0 sin-x 3.lim ex-e *-2x 3x-sin 3x 4.li x→0 x-sin x *0(1-cosx)In(1+2x) 5
5 3.4 未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 0 e e 2 3. lim sin x x x x x x 0 3 sin 3 4. lim . (1 cos )ln(1 2 ) x x x x x
3.4未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 定理（二型L'Hospital法则）：设f(x)和g(x)在x,附近可微且满足 (1)lim g(x)=co x→x0 (2)8'(x)≠0 (3)lim f'(x) =1,1可以是有限实数或o0. x->xo g'(x) 则 lim (x) lim f'(x) =1. X→x0 g(x) g'(x) 1.这里只要求limg(x)=oo,对f(x)的极限没要求. x→x0 2.定理中极限为单侧极限或修改极限过程，结论仍然成立，这与 01 型极限类似， 6
6 3.4 未定式的极限 第二章 单变量函数的微分学 定理( 型 法则): 设 和 在 附近可微且满足 可以是有限实数或 则 1. 这里只要求 对 的极限没要求. 2. 定理中极限为单侧极限或修改极限过程，结论仍然成立，这与 型极限类似