中国辩空我术大学 University of Science and Technology of China 第四章不定积分 §4.1 不定积分及基本计算方法 §4.2 有理函数的不定积分 育 創 天下 寰宇 英 學 府
1 第四章 不定积分 第四章 不定积分 §4.1 不定积分及基本计算方法 §4.2 有理函数的不定积分
第四章 不定积分 定义（原函数）：f(x)在区间I上有定义.若存在F(x)使得在I上 F'(x)=f(x),则称F(x)是f(x)在I上的一个原函数. 注：1.I为闭区间时，在端点处的导数为单侧导数： 2.原函数与定义域有关 的原函数是lnx,还是ln(-)? X 3.原函数可能不存在，例如当f(x)在I上有第一类间断点时. 连续函数一定有原函数， 4.若F(x)为f(x)在I上的原函数，则F(x)+C也是；反之， 若g(x)为f(x)在I上的另一原函数，则存在常数C使得 g(x)=F(x)+C
2 第四章 不定积分 定义(原函数): 在区间 上有定义 . 若存在 使得在 上 则称 是 在 上的一个原函数. 注: 1. 为闭区间时，在端点处的导数为单侧导数. 2. 原函数与定义域有关. 的原函数是 ，还是 ？ 3. 原函数可能不存在，例如当 在 上有第一类间断点时. 4. 若 为 在 上的原函数，则 也是；反之， 连续函数一定有原函数. 若 为 在 上的另一原函数，则存在常数 使得
第四章 不定积分 定义（不定积分）：设F(x)是f(x)在I上的一个原函数.则f(x) 在I上的原函数全体为F(x)+C,记为f(x)dx,称为f(x)在I上 的不定积分.即 ∫x)dFx+C 积分号 被积函数 被积表达式 原函数 任意常数 注 1.不定积分的运算实质上就是求导（求微分）运算的逆运算 2.按照定义，一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间.为了简 便起见，通常不再注明区间 3
3 第四章 不定积分 定义(不定积分): 设 是 在 上的一个原函数. 则 在 上的原函数全体为 记为 称为 在 上 的不定积分. 即 1. 不定积分的运算实质上就是求导(求微分)运算的逆运算. 2. 按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简 便起见，通常不再注明区间. 注: 积 分 号 被 积 函 数 被 积 表 达 式 原 函 数 任 意 常 数
第四章 不定积分 不定积分的图像为一族互相平移得到的曲线，其中任意一条都称 为f(x)在I上的积分曲线. Xo X 例.求x处斜率为2x且过(2,5)的积分曲线 4
4 第四章 不定积分 不定积分的图像为一族互相平移得到的曲线，其中任意一条都称 为 在 上的积分曲线. 例. 求 处斜率为 且过(2,5)的积分曲线. 0 x y 0 x
第四章 不定积分 常见函数的不定积分 ()∫kdc=a+C(k是常数： (2) +c(u≠-1)； u+1 (3)∫r=ne+e (④j十ts=aretanx+.Gi dx arcsinx+C; (⑥)∫cosxdx=sin.x+C; 5
5 第四章 不定积分 常见函数的不定积分 1 ( ) d ( k x kx C k 是常数); 1 2 1 1 ( ) d ( ); x x x c 3 d ( ) ln ; x x c x 2 1 4 1 ( ) dx x arctan x C; 2 1 5 1 ( ) dx x arcsin x C; 6 ( ) cos dx x sin x C;