广东工业大学：《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 多元函数的微分法及其应用

ch8多元函数微分法及其应用 §1多元函数的基本概念 多元函数的概念 二元函数的极限 二元函数的连续性

多元函数的概念 二元函数的极限 二元函数的连续性

一、多元函数的概念 1.定义 例1V=πr2h r,h(r>0,h>0)可独立取 值，取定一对值，V随之确定· 例2 电流通过电阻所作的功 P与R,I,t P=I2Rt I,t,R可独立取值，取定一组值，P随之 确定

1.定义 , , . , ( 0, 0) 2 值 取定一对值 随之确定 可独立取 V V  r h r h r  h  . , , , , , , 2 确定 可独立取值 取定一组值 随之 电流通过电阻所作的功 与 I t R P P I Rt P R I t  一、多元函数的概念 例1 例2

定义（二元函数） 设有变量x,y和z,若当x,y在一定范围内 任意取定一对值，量按照一定法则，总有 确定的数值与它们对应则称z是x,y的 二元函数. 记作z=f(x,y,或z=z(x,y) 其中：x,y--称为自变量.z--因变量， x,y的变化范围--定义域D zz=f(x,y),(x,y)∈D}值域

. , , , , , , , 二元函数 确定的数值与它们对应 则称 是 的 任意取定一对值 量 按照一定法则 总有 设有变量 和 若当 在一定范围内 z x y z x y z x y   值域 的变化范围 定义域 其中 称为自变量 因变量 z z f x y x y D x y D x y z         | ( , ), ( , ) , : , . . 定义(二元函数) 记作z  f x, y,或z  zx, y~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~

注 ()可类似定义三元函数u=f(x,y,z) 以及三元以上的函数. 例2表明P是R,I,t的函数. 二元及二元以上函数统称为多元函数 (2)数轴上的点←→实数x U=f(x) 平面上的点→(x,y)→U=f(x,y) 空间上的点(x,y,z)U=f(x,,z) 可统一简记为U=f(P),称为点P的函数

注   . (1) , , 以及三元以上的函数 可类似定义三元函数 u  f x y z 例2表明P是R,I,t的函数. 二元及二元以上函数统称为多元函数. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (2)数轴上的点  实数x U  f ( x) 可统一简记为U  f P，称为点P的函数. 平面上的点  x, y  U  f (x, y)      空间上的点  x, y,z U  f x, y,z ~~~~~~~~~~~

2.定义域的求法 二元函数z=f(x,y)的定义域D求法： 一切使算式有意义的变量x,y所确定的 点的集合即具有某种意义的点的全体) 例3z=√1-x2-y2 解1-x2-y2≥0，即x2+y2≤1 X 记D:x2+y2≤1 或D={(x,yx2+y2≤1} D:x2+y2≤1

2.定义域的求法 二元函数 z  f ( x, y)的定义域 D求法：  . , 点的集合即具有某种意义的点的全体 一切使算式有意义的自变量x y所确定的 2 2 例3 z  1  x  y 1 0, 1 2 2 2 2 解  x  y  即x  y   ,  1  : 1 2 2 2 2      D x y x y D x y 或 记 x y o : 1 2 2 D x  y 