一、求极限的方法 1.初等函数在定义区间内都是连续的，而连续点 设imf()=1,img()=o,对于“1"”型未 处极限等于函数值，即imf()=f(x)· 定式，一般有两种解法： m1+cosx)-(1+1)=23=8 四+六将x-子代入1+0- 3 （1)limf(x)=e=f( 而mg()mW=imr四是a9,型未定 1 0 为“1”型未定式，需要凑重要极限。 g(x) (1)注意极限过程！ 式，可用洛必达法则求解 意 (2)将x→x,代入，一般会得到各种未定 式，不同类型的未定式采取不同方法计算. 2.有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小 设lim(x)=0,lim(x)=o,则 3.x→0时，两个多项式商的极限 lim1+ 0, n<5 8经 (2)im f(=lim+f()1 D. n=m; =elmd()-lr(x) 0 n>m. 而im[r(e)-g9=m)-是“0型 1 0 分子次数小于分母次数时，极限为零： 分子次数大于分母次数时， 极限为无穷大： g(x) 分子与分母次数相同时，极限为最高次项系数的商 未定式，可用洛必达法则求解. 4.计算极限时，作为因式的无穷小可以用其等价无穷 小代换. (1)对8”、“吕”型未定式直接适用： 必 →0时， (2)对“00”型未定式，可通过恒等变形化 sin u~u,tan u~u,arcsin u~u,arctan u~u 法 e"-1~4,ln(1+)~4, 为8”或“”型，即 1o号+-1 2 f9g9→四或了9g9→89 1 g(x) f(x) 这里u可以是自变量，也可以是中间变量 (3)对“1”、“0”、“0”型未定式，可 例109-1-1 经f)=e/化为“0-o”型. 例207-11求极限im2x-1 例4 1 g2n交 1.1im sina 第12-21设/满足吗-1，且当x→0时， =心e器- In(cosx是比xf(x)高阶的无穷小，而xf(x)是比 (如厂-卿片皓剖 si加x= e血x-1高阶的无穷小，求正整数n. 5.凑重要极限 1 因为=（出}-- -h吗d+-e 这里可以是自变量，也可以是中间变量 所以（护
8.变量代换 例5 当x→0时，t=→0：当x0时，1=上→0 x-sinx x-sinx x-sinx 例1210-1-1 盟n(a时) 例1316-2(1) 1 例413-11设g73周9 注意洛必达法则应与其他求极限方法综合运用， 例1508-2试确定常数，c的值，使得当x→+o时， 比如先用等价无穷小代换将函数化简. aresin( 定理如果函数f(x)在区间[a,b上连续，则积分上 9.泰勒公式 限的函数 )=f0 如果函数f(x)在含有x。的某个开区间(a,b)内具有直 在[a,b)上具有导数，并且它的导数是 到(n+1)阶的导数，则当xe(a,b)时，有： x)=f(x)(a≤x≤b) f9=f+rXx-+x- 2! 推论当积分上下限是x的函数时，看做中间变量 ("r- ++x-y+ol[0e-w门 n! 当，=0时即为麦克劳林公式： rar)tad f=j0+rox+0x++0x+ox） 2! n! F'(e-t-Dat 常用n-1或n-2的情形： 例612-2-4计算im f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+o[(x-a)] 例710-24ab为常数me[eau+a-b, -)+rXx-a+(x-a+o[x-a] 求a,b. 2: 提示： f"eax- f()=f(0)+f'(0)x+o(x) 2 7.恒等变形 =f0+rox+g0e+o(r) 2! 可以用分子（分母）有理化，三角公式、提 取公因式、通分等恒等变形技巧将一个未定式转 9=j0+'ox+f0e+I0x+o(x) 化为其他类型的未定式来计算. 2 3 sin'x 刚11-3-11+x5nx-cosx tanx-sinx 例如，求极限im 时， 17-3-1 lim [sin In(x+1)-sinlnx] x0xx+x)-x-x+0() 2 3! 6 例1010-3-1 imsi如(+n tm=0n+员r+景r+的-x++) 1 练习15-3-1 limnsin(vn+1 x+)- 例11设0<a<b,求lima"+b. 父+o_1 =2 =2
例1609-1-3已知函数f(x)在x=0的某个邻域内有 1.若m,(四=mf,即mf存在， 连续的导激，且-（如+ -2,试求f(0) 但f(x)不存在或者imf(x)≠f(x),则点 及f'(0 称为()的可去间断点. 2.若m,9卡i四四，则点七称为(9 练习11-1-2设函数f(x)在点x=a处的二阶导数存 x-+ J(a+)-J(a)-f(a) 的跳跃间断点。 h 可去间断点和跳跃间断点的共同特征是左右极限 在，求四 都存在，统称为第一类间断点：不是第一类间断 点的任何一类间断点，称为第二类间断点 10.杂题 例1713-2-2求极限1im sinxiax 3.若，=心或f=0,则点称 为f(x)的无穷间断点。 1 例1808-1-4设()=+ae在（←0+回内连续， 4.函数f(x)在点七没有定义，当x→七时， 且imf(x)=0，则imf(x)=一，1f()=一 函数值在常数a、b之间变动无限多次，则点x。 (cosx-b)sinx=5 ,,b. 称为f(y的振荡间断点，如点x=0是函数sm 例1915-1-2若im e-a 的振荡间断点。 函数的间断点一般有两种： 例2017-2-1设对任意的实数x, 1.初等函数(x)在点没有定义而在x的去心 总有)≤f(x)≤g(9,且im[g9-网x]=0, 邻域内有定义，则点x。一定是(x)的间断点. 则imf()【】 这时，一般直接求极限1m了(：)即可，除非遇到 (A)存在且等于零(B)存在但不一定等于零 lim e"-oo lim e"=0, (C)一定不存在 (D)不一定存在 lim arctan=.lim arctan u=- 2 才需要分左右求极限。 最后，根据极限情况判断间断点类型。 二、间断点的判别 ~的间断点并指出其类型， 判别函数f(x)在点处的连续性，首先要求∫() 例1求函数r9=1 在点x。的某去心邻域内有定义，如果 I-e mf()f(x) 例2求函数(x)= Inxl 则称f(x)在点七处连续，否则，为f(x)的间断点. Γx2-3x+2 的间断点并指出其类 型. -x 例3求函数)= cotx 的间断点并指出其类型
「f(,x≤x; 例1设f(x)在x=a处可导，求 2.分段函数f(x)= J(9,x>x0 的分段点x m(a+h)-f(a-2) 处，必须分别求左右极限，然后判断七是否间 断点，是哪种类型的间断点. 解吗a+-1a-2 [x2-1,-1sx<0, =g/a+0-fa-a-2m-a刨 h 例413-2-1设f()=} x,0≤x<1 2-x,1≤x≤2， =-▣a+》/@+2ga-2》f@ h -2h 讨论函数f(x)的连续性并判断间断点类型， =f'"(a)+2f'(a) =3f'(a) 例512-26x=0是函数 分析 由了化)四化+。可以得到 △x f(x)= (sinxx+0. ▣/+A9rG-A剑 △r x2-1,x=0 的【】 -+A0-2,1化-A9- Ar -△r (A)连续点 (B)无穷型间断点 (C)第一类间断点(D)第二类间断点 =2∫'(x) 但是im+Ae)-fs-A) 存在与否与 △r 函数∫(x)在点处的值无关，也就不能推出∫'() 存在与否 三、导数概念 1.函数∫(x)在点x处的导数，是在点七处自变量 1 取得增量△r时，函数值相应的增量△与△x商的 例如函数∫(x) 当△x→0时的极限. 0,x=0. 注1自变量增量用什么符号表示，是△x还是2△x 1 或者-△x等都可以，只要它趋于零，并与函数值 (o+△)roA2Ac0s c05 -△ 增量对应一致，商的极限就是点七处的导数. △r △r 0 注2必须从定点x处取得增量，即 A r)-+Ag-国 =0 =imw- 但是∫(x9在x=0处不连续，所以∫'(O)不存在 h x-xo 自变量起点自变量终点自变量增量 函数值增量 例2函数()在点七处的导数∫'（化）存在，等 价于 6+△x △r f(+△x)-f(x) 州 七+h h f(x+h)-f(xo) A吗+3a-A存在 △r x-x。f()-f(x) r)-+A-f B.m-)存在 x-Xo △ =+- h C.四代+-A9存在 △r lim f(x)-f(xo) 0X-X。 D.m旷（飞+-】存在
例314-2-1设f(0)=0,则函数了(x)在x=0处可导 3.用定义求分段函数分段点的导数 的充要条件是(). ∫x2,x≤ )婴n-刻存在 例807-1-2设f(x)= 在x=1处 lax+b,x>1 可导，求a,b的值 (B)卿1-e内存在 例910-1-2若二次曲线y=ax2+bx+c(0<x<1)将 1 ()行∫仙-)存在 两条曲线l:y=e(-o<x≤0)与L:y=二(1≤x<+oo 1 连接成处处有切线的曲线，求该二次曲线方程 (D)im-[f(2h)-f(h】存在 h-0h 例414-3-1设f(x)为有界函数，f(0)=1, 4.微分定义若y=f(x)在某区间内有定义，x,及 n(1-)+9sx=0,证明函数∫(x在 。+4x在这区间内，如果函数的增量4y可以表示 e-1 为4y=∫(x+△)-∫(x)=A+o(4y),称函数 点x=0处可导，并求f'0). Jy=f(x)在点x。是可微的，dy=AMr称为函数的 微分 例509-4设函数f(x)在(-0，+∞)有定义， 函数∫()在点七处可微 且f'(0)=1,对任意的数七，y恒有等式 A=f(xo) 0 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy dy=f(x)dx 函数f()在点处可导 少 成立，求函数(x)的表达式 函数f(x)在点处连续 2.由条件(1)函数(x)在点x=0处连续； 例10设函数y=f(x)在点x处可导，当自变量x 由x,增加到七+c时，记4y为y=∫()的增量， (2②极限即/四存在四/= dy为y=了四的微分，a=4-,在4c→0 Ax 可以得到： 时，a是 0=g=四[g40-0 A.无穷小B.无穷大C.常数D.极限不存在 例1108-1-2设函数y=f(x)的增量 0=/二0=四.4 x-0xx 4y=V4x-x24x+o(4, 则f'xar= 例6已知回存在，且四在点x=0处连 四.初等函数求导问题 1.函数f(x)在点七处的导数∫'(x),即为其导函 续，则有 数f(x)在点七处的函数值 A.(0不存在 B.'0)不一定存在 例1设f(x)=xnx在x处可导，且f'(x)=2, C.∫'(0)存在但非零 D.∫"(O)存在且为零 则f(x)= 【】 例713-3-2设f(9)在x=0的某邻域内二阶可导， A.0 B.e C.1 D.e 且f"0≠0，lm四=0，m roat 例2设f(x)=x+x(x-1)arcsin x x-)0 sinx =B≠0， x+i,则 求a与B. f')=