中国辩空我术大学 University of Science and Technology of China 第五章单变量函数的积分学 §5.1 定积分 §5.2 函数的可积性 §5.3 积分的应用 育創 §5.4反常积分 天下 寰宇 英 學 题 府
1 定积分 第五章 单变量函数的积分学 第五章 单变量函数的积分学 §5.1 定积分 §5.2 函数的可积性 §5.3 积分的应用 §5.4 反常积分
定积分 第五章 单变量函数的积分学 几个典型的定积分问题 1.曲边梯形的面积 y=f(x) 曲边梯形是由连续曲线 y=f(x)(f(x)≥0) X轴以及两直线x=a,x=b a b X 所围成，求其面积A. h l 矩形面积 三角形面积 多边形面积 A=Ih A=二1h A=4+4+4+A 2
2 定积分 第五章 单变量函数的积分学 曲边梯形是由连续曲线 X轴以及两直线 所围成 ,求其面积 A . 矩形面积 三角形面积 多边形面积 1.曲边梯形的面积 几个典型的定积分问题 X Y
定积分 第五章 单变量函数的积分学 设f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0. 1.分割：在区间[a,b]中任意插入n-1个分点 a=七0<X1<<Xn-1<xn=b 将大曲边梯形分割成n个窄条曲边梯形. 面积的定义 △xk=Xk-xk-1,k=1,2,…,n. 2.取近似：任取5∈[x-1,x],则对应的窄曲边梯形的面积 A≈f(5)△xk,k=1,2,…,n 3.作和：A=∑4≈∑f(5)△x k=1 k=1 4.求极限：记元=max{△x},则 l≤k≤n A=lim∑f(5)△x XK-15kxb x
3 定积分 第五章 单变量函数的积分学 1.分割: 在区间 中任意插入 个分点 将大曲边梯形分割成 n 个窄条曲边梯形. 2.取近似: 任取 则对应的窄曲边梯形的面积 3.作和: 4.求极限: 记 , 则 设 在 上连续且 面 积 的 定 义
定积分 第五章 单变量函数的积分学 2变速直线运动的位移 某物体作变速直线运动，设速度v(t)∈C[T,T,],求这段时间内 物体经过的位移S. (1)分割：在区间[T,T,]中任意插入n-1个分点 H=t<<.<I<=12 记△tk=tk-tk-1,k=1,2,…,n. (2)取近似任取k∈[1k-1,t],则对应该时段上的位移 △Sk≈v(tk)△tk,k=1,2,…,n (3)作和： s=∑△s≈∑)A: 4④求极限：记入=ax{A,}则s=m∑(：)A4: 4
4 定积分 第五章 单变量函数的积分学 2.变速直线运动的位移 (1)分割: 在区间 中任意插入 个分点 (2)取近似: 任取 则对应该时段上的位移 (3)作和: (4)求极限: 记 ,则 某物体作变速直线运动,设速度 求这段时间内 物体经过的位移 . 记
定积分 第五章 单变量函数的积分学 3.变力沿直线做功 某物体受同向变力沿力的方向移动1，受力F=F(S)∈C[0,] 求变力所做的功w. (1)分割：在区间[0，]中任意插入n-1个分点 0=S0<S1<…<Sm-1<Sn=l 记ASk=Sk-Sk-1,k=1,2,…,n (2)取近似：任取5k∈[Sk-1,Sk],则对应该时段上的位移 △wk≈F(5k)△Sk,k=1,2,…,n (3)作和： w=∑Aw≈∑F(5)A 4④求极限：记=max{As:,则w=m∑F(5)A 5 k=1
5 定积分 第五章 单变量函数的积分学 3.变力沿直线做功 (1)分割: 在区间 中任意插入 个分点 (2)取近似: 任取 则对应该时段上的位移 (3)作和: (4)求极限: 记 ,则 某物体受同向变力沿力的方向移动 受力 求变力所做的功 . 记