3.2微分 第二章！ 单变量函数的微分学 §3.2 微分 §3.1 微分的定义 §3.2 微分的运算与形式不变性 2
2 3.2 微分 第二章 单变量函数的微分学 §3.2 微分 §3.1 微分的定义 §3.2 微分的运算与形式不变性
3.2微分 第二章 单变量函数的微分学 定义：设y=f(x)在给定一点x的附近有定义.如果存在A=A(x) 使得 f(x+△x)-f(x)=A·△x+o(△x),(△x→0) 则称f在x可微，线性部分A·△x称为函数y=∫(x)在x处的微分 记为dy=A△x,或df(x)=A·△x. 函数f(x)在x可微，表明在x处，函数的增量△y=f(x+△x)-f(x) 与微分A△x只差一个关于自变量增量△x的高阶无穷小量. 3
3 3.2 微分 第二章 单变量函数的微分学 定义：设 在给定一点 的附近有定义. 如果存在 使得 则称 在 可微，线性部分 称为函数 在 处的微分， 记为 或 函数 在 可微，表明在 处, 函数的增量 与微分 只差一个关于自变量增量 的高阶无穷小量
3.2微分 第二章 单变量函数的微分学 由定义，f在x可微 →3A,s.t.f(x+△x)-f(x)=A·△x+o(△x),(△x→0) →3A,s.tlim fx+△x)-f)=4 △x→0 △x 今f在x可导，且A=∫'(x) 定理：函数y=(x)在x可微的充分必要条件是f(x)在x可导 f可微时dy=f'(x)△.由此，dx=(x)'△x=△x.故微分也常写为 dy=f'(x)dxoo微分公式 f'(x)= dy df(x).… 导数也称微商，“两个微分的商” dx dx 4
4 3.2 微分 第二章 单变量函数的微分学 定理：函数 在 可微的充分必要条件是 在 可导. 可微时， 由定义， 在 可微 在 可导，且 由此， 故微分也常写为 微分公式 导数也称微商，“两个微分的商
3.2微分 第二章 单变量函数的微分学 微分的几何意义 △y=f(x+△x)-f(x) y=f(x) =f'(x)△x+o(△x),(△x→0) dy=f'(x)△x. >x X x+△x 在点X附近，用过(x,f(x)的切线近似函数描述的曲线，这就是 微积分中“以直代曲”的基本思路 5
5 3.2 微分 第二章 单变量函数的微分学 在点 附近，用过 的切线近似函数描述的曲线，这就是 微分的几何意义 x y O P Q y f x ( ) x x x y dy 微积分中“以直代曲”的基本思路. x
3.2微分 第二章 单变量函数的微分学 微分在近似计算中的应用 若函数y=∫(x)在x=x,处可微，则 f(x+△x)-f(x)=A·△x+o(△x),(△x→0) 则对于充分小的△x,有近似公式 f(x,+△x)≈f(x)+f'(x)△x 当f(x,),∫'(x)都容易计算时，可利用此式作函数值的近似计算. 例如，在0附近： (1+x)0≈1+ax. S1nx≈x, tanx≈x,e*≈l+x,ln(1+x)≈x. 6
6 3.2 微分 第二章 单变量函数的微分学 微分在近似计算中的应用 则对于充分小的 ，有近似公式 0 0 0 f x x f x f x x ( ) ( ) ( ) . 若函数 y f x ( ) 在 x x 0 处可微，则 x 当 都容易计算时，可利用此式作函数值的近似计算. (1 ) 1 . x x sin , tan , 1 , ln(1 ) . x x x x x e x x x 例如，在0附近： 0 0 f x( ), ( ) f x