《力学》课程教学资源（数学工具）Noether定理

Noether定理 Noether定理讲的是体系的对称性与守恒量之间的关系。我们讲一个体系具 有某种对称性是指：当对体系进行某种操作后其动力学方程是保持不变的，这些 操作通常使得坐标发生了变化。 设某个体系的Lagrange函数为L(q,q,t),从而广义坐标q,满足Lagrange 方程 aL d aL (i=1,2,…,S (1) 8q,di aq, 现在考察坐标的一个无穷小变换： 9,→q4=9,+8s,(9,t) (2) 其中，6是一个无穷小的参数。这时候，L(9,4,t)变为了L(q,9,t)[二者具 有相同的函数形式]。我感兴趣的第一个问题是：L(q,9,t)具有什么样的形式 时，体系的Lagrange方程才是不变的？显然，如果Lagrange函数在此变换下是 不变的，即 L(g,,t)=L(q,9,t) (3) 那么Lagrange方程在此变换下也是不变的。要求L不变是有些过于苛求了，因 为真正需要不变的是动力学方程，即Lagrange方程。正如我们已经知道的，容 许Lagrange函数作如下变换时 L(q,,t)=L(g,9,t)+ dF(q,t) (4) dt 这些方程实际上也是不变的。由于与q的偏离是无穷小的，从而由此造成的 Lagrange函数的差别也至多是与&成正比，因此，我们就可以将F写为 F(9,t)=&G(9,t) (5) 当然，如果G=0,这就是关系(3)，它可以作为这里一般情形下的特例。 第1页，共10页

Noether 定理 Noether 定理讲的是体系的对称性与守恒量之间的关系。我们讲一个体系具 有某种对称性是指：当对体系进行某种操作后其动力学方程是保持不变的，这些 操作通常使得坐标发生了变化。 设某个体系的 Lagrange 函数为 L qqt ( , , ) ，从而广义坐标 满足 Lagrange 方程 i q , 1,2, , ( i i L dL i q dt q ∂ ∂ = = ∂ ∂ "  s) (1) 现在考察坐标的一个无穷小变换： q q q s qt i ii i →=+ ′ ε ( , ) (2) 其中，ε 是一个无穷小的参数。这时候，L qqt ( , , ) 变为了 Lqqt ( ′ ′ , ,  )[二者具 有相同的函数形式]。我感兴趣的第一个问题是：Lqqt ( ′, , ′ ) 具有什么样的形式 时，体系的 Lagrange 方程才是不变的？显然，如果 Lagrange 函数在此变换下是 不变的，即 L q q t L qqt ( ′, , ,, ′ ) = (  ) (3) 那么 Lagrange 方程在此变换下也是不变的。要求 不变是有些过于苛求了，因 为真正需要不变的是动力学方程，即 Lagrange 方程。正如我们已经知道的，容 许 Lagrange 函数作如下变换时 L ( )( ) ( , ) , , ,, dF q t L q q t L qqt dt ′ ′  = + (4) 这些方程实际上也是不变的。由于q ′与 的偏离是无穷小的，从而由此造成的 Lagrange 函数的差别也至多是与 q ε 成正比，因此，我们就可以将 写为 F F qt G qt ( , ) = ε ( , ) (5) 当然，如果 ，这就是关系 G = 0 (3)，它可以作为这里一般情形下的特例。 第 1 页，共 10 页

而接下来我们将看到一个重要而有趣的现象：当对坐标作变换(2)时，如果动 力学方程是不变的，或者说如果Lagrange函数是规范不变的，那么，这就意味 着存在某个不随时间变化的力学量，即守恒量（也称为运动常数）。 这是因为：如果我们将(4)式左边按照￡作Taylor展开 Lg,q,）=L(g.9)+ aL aL -S十 8q =L(q,9,)+8 doL s.+ (6) =L(9,9,t)+ε d aL S 其中第二个等号利用了Lagrange方程。由方程(4)就得到 d aL dG dt aq (7) dt 即 d(a Es-G 二0 (8) dt oq 也就是说，括号中的项在运动过程中是一个常数 aL .S -G=const. (9) a4. 通常将 P= =p,(q,4,0 (10) 8q, 称为是与9，对应的广义动量（或共轭动量）。我们就有 PjS;-G=const. (11) 如果q具有长度量纲，那么P,就具有动量的量纲：而如果9，具有角度量纲，那 么P,就具有角动量的量纲。 第2页，共10页

而接下来我们将看到一个重要而有趣的现象：当对坐标作变换(2)时，如果动 力学方程是不变的，或者说如果 Lagrange 函数是规范不变的，那么，这就意味 着存在某个不随时间变化的力学量，即守恒量（也称为运动常数）。 这是因为：如果我们将(4)式左边按照ε 作 Taylor 展开 ( )( ) ( ) ( ) , , ,, , , , , i i i i i i i i i L L L q q t L qqt s s q q dL Ld L qqt s s dt q q dt d L L qqt s dt q ε ε ε ⎛ ⎞ ∂ ∂ ′ ′ = ++ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ i ⎡⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎤ ⎛ ⎞ =+ + ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎥ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎟ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ∂ = + ⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠         (6) 其中第二个等号利用了 Lagrange 方程。由方程(4)就得到 i i dL d s dt q dt ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ = ∂⎝ ⎠  G (7) 即 0 i i d L s G dt q ⎛ ⎞ ∂ ⎜ − = ∂⎝ ⎠  ⎟ (8) 也就是说，括号中的项在运动过程中是一个常数 const. i i L s G q ∂ − = ∂  (9) 通常将 ( , , i i i L p pq q q t) ∂ = = ∂   (10) 称为是与 对应的广义动量（或共轭动量）。我们就有 i q const. i i ps G− = (11) 如果 具有长度量纲，那么 i q i p 就具有动量的量纲；而如果 具有角度量纲，那 么 i q i p 就具有角动量的量纲。 第 2 页，共 10 页

对于每一组你能找到的S,,就能得到一个运动常数。体系Lagrange函数在变 换(2)下的规范不变性与运动常数（守恒量）之间的这种联系称为Noether定理： 如果Lagrange函数L在无穷小变换下是规范不变的， aL 那么对于Lagrange方程就存在运动常数 S,-G。 8q, 当然，如果Lagrange函数在此变换下是不变的，那么运动常数简单地就是 aL .S;or piS 8q, 举一个例子，如果Lagrange函数不显含某个坐标譬如说qk,我们将qk称为 是循环坐标，在这种情况下，当把坐标作变换 9,(t)→q(t)=9,(t)+S,s,=δk (12) 时，Lagrange函数实际上是不变的，即G=0(实际上，你将qk加上任意一个 有限的数，而其他坐标保持不动，Lagrange函数也是不变的)，因此，如果qk是 循环坐标，那么对应的广义动量就是守恒量： aL P= _=const (13) qk 当然，从Lagrange方程这一点可以很直接地得到。因为qk是循环坐标意味 着 L二0 (14) qk 从而 dpd oL=OL=0 (15) dt dt oqk oqk 所以， 如果9，是循环坐标，那么对应的广义动量就是运动积分。 例如，考虑中心力场中运动的粒子，在极坐标系中，其Lagrange函数 第3页，共10页

对于每一组你能找到的 i s ，就能得到一个运动常数。体系 Lagrange 函数在变 换(2)下的规范不变性与运动常数（守恒量）之间的这种联系称为 Noether 定理： 如果 Lagrange 函数 在无穷小变换下是规范不变的， 那么对于 Lagrange 方程就存在运动常数 L i i L s G q ∂ − ∂  。 当然，如果 Lagrange 函数在此变换下是不变的，那么运动常数简单地就是 or i i i L i s p s q ∂ ∂  举一个例子，如果 Lagrange 函数不显含某个坐标譬如说 ，我们将 称为 是循环坐标，在这种情况下，当把坐标作变换 k q k q ( ) ( ) ( ) , i i i ii qt qt qt s s ik →=+ = ′ ε δ (12) 时，Lagrange 函数实际上是不变的，即G = 0（实际上，你将 加上任意一个 有限的数，而其他坐标保持不动，Lagrange 函数也是不变的），因此，如果 是 循环坐标，那么对应的广义动量就是守恒量： k q k q const. k k L p q ∂ = = ∂  (13) 当然，从 Lagrange 方程这一点可以很直接地得到。因为 是循环坐标意味 着 k q 0 k L q ∂ = ∂ (14) 从而 0 k k k dp dL L dt dt q q ∂ ∂ = = = ∂ ∂  (15) 所以， 如果 是循环坐标，那么对应的广义动量就是运动积分。 i q 例如，考虑中心力场中运动的粒子，在极坐标系中，其 Lagrange 函数 第 3 页，共 10 页

L=2m+r0）U0=.i,0) (16) 并不明显依赖于日，或者说日是一个循环坐标，因此相应的广义动量 aL mr20 const. (17) 守恒。而P。实际上正是粒子相对于力心的角动量[注意，在分析力学中我们用P。 表示与日对应的广义动量，它并不是粒子动量在日方向的投影]。在此情形，前 面的变换(12)实际上就是将粒子绕着力心转过某个角度。 由于用广义坐标有时不大容易与体系所具有的直观对称性联系起来，因此， 我们将上面的结论在迪卡尔坐标系中重新表述一下来讨论封闭体系所具有的对 称性以及相应的守恒量。 考察Lagrange函数 L=T-U=m,航-U(叵，)=L(,,) (18) 2 这里不要求这些迪卡尔坐标是独立的。现在我们讨论坐标的无穷小变换 下→=i。+7。 (19) 它可以看作是由于广义坐标作如下变化引起的 9→q4=9+S,→。→=a(q,t)=。+8 s (20) 0q 即7。与S,有如下关系： 万。= OTS (21) 0q: 如果在此变换下Lagrange函数是规范不变的，即 L(户，)=L,元，+8 (22) with G=G(r,t)=G((q,t),1) 根据前面的讨论，这时候 第4页，共10页

( ) ( ) ( 1 2 22 , ,, 2 L m r r U rt L rr = +− = θ θ,t)     (16) 并不明显依赖于θ ，或者说θ 是一个循环坐标，因此相应的广义动量 2 const. L p mr θ θ θ ∂ == = ∂   (17) 守恒。而 pθ实际上正是粒子相对于力心的角动量[注意，在分析力学中我们用 pθ 表示与θ 对应的广义动量，它并不是粒子动量在 ˆθ 方向的投影]。在此情形，前 面的变换(12)实际上就是将粒子绕着力心转过某个角度。 由于用广义坐标有时不大容易与体系所具有的直观对称性联系起来，因此， 我们将上面的结论在迪卡尔坐标系中重新表述一下来讨论封闭体系所具有的对 称性以及相应的守恒量。 考察 Lagrange 函数 ( ) ( 1 , , 2 L T U mrr U r t L r r t =− = − = aaa , ) K K K KK    (18) 这里不要求这些迪卡尔坐标是独立的。现在我们讨论坐标的无穷小变换 a aa r rr a →=+ ′ εη K KK K (19) 它可以看作是由于广义坐标作如下变化引起的 ( ) , a i i i i a aa a i r q q q s r r r qt r q ε ε ∂ →=+ ⇒→= =+ ′ ′ ′ ∂ K i s K KK K (20) 即ηa K 与 i s 有如下关系： a a i r i s q η ∂ = ∂ K K (21) 如果在此变换下 Lagrange 函数是规范不变的，即 ( )( ) () () ( ) , , ,, with , , , dG Lr r t Lrrt dt G G rt G r qt t ′ ′ = + ε = = K K KK   K K (22) 根据前面的讨论，这时候 第 4 页，共 10 页

aL ad S,-G= L元s-G a元。aq OL Ofs:-G (23) a航0q. an。-G=const. 而你知道 aL 0 .-Pa (24) 正是第a个粒子的动量，因此 p。:i。-G=const (25) 考察一个封闭的力学体系，将其Lagrange函数利用位矢和速度表示出来 t=7)-u)=m成-2uG) (26) 2a,b 显然，总的势能显然在空间平移和转动下都是不变的（当然动能也是不变的，事 实上，你不难看出在空间平移和转动下任一体系的动能都是不变的)。因此，在 坐标作无穷小的平移或转动时Lagrange函数是不变的，也就是说在这两种变换 下，规范函数G=0。 首先考察在某个矢量万方向上的平移 =产，+s7,with=const..vector (27) 此时万。变为了万。=万。由于Lagrange函数在此变换下都是不变的，即G=0, 因此 ∑i。·p。=7:∑p。=7:P=const.. (28) 即总动量在万方向的分量是守恒的。而这一结论对于任意万（万的大小和方向 都可以是任意的)都是成立的，因此，总动量必然也是守恒的 P const. (29) 第5页，共10页

const. a i i i ai a i a i a a L L r sG sG q rq L r s G r q L G r η ∂ ∂ ∂ −= ⋅ − ∂ ∂∂ ∂ ∂ =⋅ − ∂ ∂ ∂ = ⋅−= ∂ K  K   K K  K K  (23) 而你知道 a a L p r ∂ = ∂ K K  (24) 正是第 个粒子的动量，因此 a const. a a p G ⋅η − = K K (25) 考察一个封闭的力学体系，将其 Lagrange 函数利用位矢和速度表示出来 ( ) ( ) ( , 1 1 1 2 2 n a a a ab ab a b L T r U r mrr U r = =− = − ∑ K K KK    ) (26) 显然，总的势能显然在空间平移和转动下都是不变的（当然动能也是不变的，事 实上，你不难看出在空间平移和转动下任一体系的动能都是不变的）。因此，在 坐标作无穷小的平移或转动时 Lagrange 函数是不变的，也就是说在这两种变换 下，规范函数G = 0。 首先考察在某个矢量η K 方向上的平移 , with const. vector a a r r ′ =+ = εη η K K K K (27) 此时ηa K 变为了ηa =η K K 。由于 Lagrange 函数在此变换下都是不变的，即 ， G = 0 因此 const. aa a a a ∑ ∑ η ⋅ =⋅ =⋅= p pP η η KK K K K K (28) 即总动量在η K 方向的分量是守恒的。而这一结论对于任意η K （η K 的大小和方向 都可以是任意的）都是成立的，因此，总动量必然也是守恒的 P = const. K (29) 第 5 页，共 10 页