例2求方程y”-5y+6y=xe2x的通解.（补充题）》 解：本题2=2，特征方程为r2-5r+6=0,其根为 1=222=3 对应齐次方程的通解为Y=C1e2x+C2e3x 设非齐次方程特解为*=x(bx+b)e2 代入方程得-2bx-b,+2b=x 线负桥2为一 因此特解为y*=x(-2x-1)e2x.(自学课本例2) 所求通解为y=C1e2x+C2e3x-(2x2+x)e2x 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 2 5 6 x 求方程 y y y xe ′′ ′ −+= 的通解. 解 : 本题 特征方程为 ,065 2 rr =+− 其根为 对应齐次方程的通解为 x x Y eCeC 3 2 2 1 += x ebxbxy 2 10 设非齐次方程特解为 += )(* 比较系数, 得 ⎩ ⎨ ⎧ 12 − b 0 = 02 − bb 10 = 1, 2 1 0 bb 1 −=−= 因此特解为 .)1(* 2 2 1 x −−= exxy 3,2 1 = rr 2 = 代入方程得 − − + = xbbxb 010 2 2 所求通解为 x x eCeCy 3 2 2 1 += .)( 22 2 1 x +− exx λ = ,2 例 2 （补充题） （自学课本例 2 ）
二、f(x)=e2x[D(x)cOS@x+pn(x)sin@x]型 分析思路： 第一步将fx)转化为 f(x)=Pn(x)e()+(x)e) 第二步求出如下两个方程的特解 y"+py'+qy=Pn(x)e(atio)x y"+py'+qy=P(x)e(atio)x 第三步利用叠加原理求出原方程的特解 第四步分析原方程特解的特点 2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 二、 λ x [ l ω n sin)( ω xxPxxPexf ] 型 ~ = cos)()( + = + + xi m exPxf )( )()( λ ω xi m exP )( )( λ+ ω 第二步 求出如下两个方程的特解 xi m exPyqypy )( )( λ+ ω ′′ + ′ =+ ′′ + ′ + yqypy = 分析思路 : 第一步 将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 xi m exP )( )( λ+ ω
第一步利用欧拉公式将f)变形 =p elox -e-iox 2 +F(x) 2i 令m=max{n,1},则 f(x)=Pn(x)e(i)+P(x)e(A-i0)x =Pn(x)e()+()e) 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 利用欧拉公式将 f (x) 变形 ⎢⎣ ⎡ = x exf λ )( ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += i nl xPxP 2 )( ~ 2 )( xi e λ+ ω)( ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ i nl xPxP 2 )( ~ 2 )( xi e λ− ω)( = + + xi m exPxf )( )()( λ ω xi m exP )( )( λ− ω = + + xi m exP )( )( λ ω xi m exP )( )( λ+ ω 令 = { lnm },max 则 P x)( l 2 xixi ee ω − ω + )( ~ + n xP ⎥⎦ − ⎤ − i ee xixi 2 ω ω 第一步
第二步求如下两方程的特解 y"+py'+qy=P(x)e(Atio)x ② y"+py'+qy=Pn(x)e(tio)x ③ 设入+io是特征方程的k重根(k=0,1),则②有 特解： 片=xQn(x)e+i@)r(m(x)为m次多项式) 故 (i)"+p(vi)+qyi=P(x)e(ti@)x 等式两边取共轭： 片+p片+g片=Pm(x)e+iox 这说明为方程③的特解. 2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 9 目录 上页 下页 返回 λ + i ω 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), xi m k exQxy )( 1 )( ∗ λ+ ω = m )(( 为mxQ 次多项式 ) 故 xi m exPyqypy )( 1 11 )()( )( ∗ ∗ ∗ λ+ ω ′′ + ′ ≡+ 等式两边取共轭 : xi m exPyqypy )( 1 11 )( ∗ ∗∗ + ωλ ≡+′ + ″ ∗ 1 这说明 y 为方程 ③ 的特解 . xi m exPyqypy )( )( λ+ ω ′′ + ′ =+ ② xi m exPyqypy )( )( λ+ ω ′′ + ′ =+ ③ 设 则 ② 有 特解 : 第二步 求如下两方程的特解