第二章辩群的基础知识证明固定T(0)同上.由命题2.3.1，BmD,K的辨一一对应于元1(D一K,u)中的9-基设T是任意g-基，bEBm[D,K]使得T=T(0)b.T上的Hurwitz变换R诱导了辫Rk,6EBn[D, K].由命题2.1.1，我们可以依次通过有限个Hurwitz变换R，·，R将T变换到F(0）（这里诸e=±1).设I'=(T)R6,bBn[D,K)满足T'=(r(0))b.由引理2.3.1,b=bR=Hb.由归纳法即得b=H-1.H.t服引理2.3.2设i（相应地，Tl）是D-aD中连接ai,aj（相应地，ak，at）的简单道路，并且不和其他K中的点相交(1)若nTkl=O,则H(o)H(Thl)=H(Tkt)H(Qi).(2)若j=k,nTk=aj,则H(gi)H(Tt)H()=H(Ti)H()H(Tt)推论2.3.1设H=[H;]"-1是辩群Bn:=Bn[D,K] 的标架H;H,=H,Hi，H,Hi+iH;=Hi+1H,H+1,[-jl>1.我们定义Zus(H)=Hj-1Hi+1.H.H,+1-..H,-1,1≤i<j<n.在不混淆的情形下，也简记作Zij.事实上，在g-基o上，Zij=H(ai)引理2.3.3(1)Zi,+1(H)=H,(2) ZijZkl = ZiZij, j<k(3)ZiZihZuj=ZjkZuZjk-证明由引理2.3.2即得2.4群的典范嵌入设（D',K)是另一个带孔圆盘，f：(D,K）→（D,K)是一个嵌入映射，要求f(K)≤K并令k=#K,n=K.我们假设（K-f(K))nf(Int(D))=0对任何bEBD',K'l，设β：（D',K）→（D',K)是对应b的某个微分同胚.我们可以延拓β到D上.具体言之，可构造微分同胚β：D→D,使得βD-(D)=IdD-(D)，且β(a)=fβf-1(a)，VaEf(D).后一条件相当于说以下交换图成立.D-DD引理2.4.1如果上述β'=IdEB[D',K'],那么其延拓β=IdEBn[D,K]证明为方便起见，我们将f之间看作包含映射，设K'=a1,,a}，K-K'=[ak+1,，an]考虑D'—K'的丛《T,,T)（以uoD"为基点)．并设T+1,,Tn分别是连接uEaD和a1,…，an的简单道路，T是连接,u的简单道路，要求这些道路除了u之外互不相交，并且不与D'相交具体示意图如下，-13-
第二章辩群的基础知识设T=T,UT,1≤i≤k,则(T，,Tn）构成D-K的丛.现在我们设(Ti,,)是(D-K,u)对应的g-基，(T1,,F）是i(D-K',)对应的g-基.它们满足关系=T-ITT（1≤i≤k),并且I,≤D-D(j=k+1,",n).我们有[ T-1B(F)T, i≤k,β(T:) =Fi,i>k.因为β'=Id,所以β()=1≤k)：因此β(）=-T,它同伦于这就说明β = Id.-命题2.4.1上述嵌入于诱导了辨群的单同态于：B[D,K-→Bn[D,K],，于(b)=b.证明设β',β同上,这就给出了映射b→b,这里beBn[D,K]是β对应的辫。上面的引理保证了这一映射不依赖于β的选取，因而这就诱导了我们需要的辫群同态假设eKerf不是平凡的辫。我们沿用前面所有的记号与假设.不妨设(T)6’≠T,对某个r(≤k)成立.不妨设(T)6=II(Tm）e㎡是既约表示.这样，(Tr)β = T-1(r)B'T = T-1II(F"m)emT =II(T-r".T)m =II(T)"上述表达式不等于r，仍然是既约的，并且下标均不超过k.注意到I1,,In是元1(D一K,u)一的自由基，所以（T)β不可能同伦等价于Tr.这就和6的选取矛盾！定义2.4.1设K"=[b1,*bm}CK，Pi（i=1,,m-1)分别是连接b;到bi+1的简单道路，要求[o,->1,pinpj=(bi+1,j=i+1.并且诸Pi不与K一K"中的点相交：我们将这组首尾相接的道路序列称作(D,K,K"）中的骨架(Skeleton)．两个骨架（pi，，Pm-1)，（pi，，Pm-1）相同是指对应的正半扭皆相同，即H(p)=H(p),i=1,",m-1.回到嵌入映射f：(D,K")→(D,K).设H,=H(o)是B[D",KI是一组标架.那么显然(f(o1),，f(on-i))是（D,K,f(K))中的骨架.这样，f：B[D,K)→Bn[D,K]完全由该骨架确定下来，反过来，给定一组骨架，我们也能构造出对应的嵌入映射，-14 -
第二章辩群的基础知识现在我们考虑一类特殊的辫群典范嵌入映射.设H,=H(%）（i=1,，n-1)是Bn[D,K]的标架，这里道路连接ai和ai+1.取一个同胚于圆盘的子集D包含a1,.，an-1，并且anEOD'.设K=K-anl由包含关系i：（DK）→（D,K).我们诱导了典范单射i : Bn-i[D'′,K'] -→ Bn[D, K].道路1,，m-2定义了Bn-1[D'.K的一组标架，记作（Hi，：，Hh-2)显见（H)=H(j = 1,.,n -2).2.5运动诱导的辫设K"={ai，,a")及K={a1,,an)是D内部的有限点集．K"到K的运动(Motion）是指n个连续函数mi:[0,1]→D（i=1,,n)，满足mi(0)=α，m;(1)=ai，并且对任何tE[0,1]，m;(t)≠m;(t)(i≠i).给定一个运动M,我们自然诱导了一族保持边界aD不动的微分同胚DM,D→D，使得DM,(a')=m;(t),这里te[0,1].特别地，如果K'=K，那么DMI显然诱导了B[D,KI的一个辫，记作bM，称之为由运动M诱导的辨显然这个辩与DM,t选取无关，只与运动M有关1/32/3例2.5.1任取道路E(D-[a1,，an-1),an）都定义了一个运动诱导的辫bM()，它在保持ai（i<n)不变，而mn(t)：=(t).由此我们可以诱导同态w : 元i(D -[a1,*+*,an-1),an) Pn, -bm()引理 2.5.1上述同态W是单射-15-
第二章辩群的基础知识证明设^eKer是非平凡元，A是相应的在D'-K'中以an为基点的环路。考虑含an的小圆盘dn.其边界记作cn.设c是oD上一段弧，连接u和cn上的点，我们假设And是连接an和端点的直线(来回两个不同方向的直线重合)。这样，A=-dn就是一个环路。设T仍是连接u，u的简单道路.以下是示意图设In=T-1ccnc-1T我们的目标是考察运动诱导的辨bM(A)在T上的作用.运动an(t)显然要诱导了圆周的运动cn(t)，因而也牵引了运动c(t)（此外保持T不动).显然有cn(1)=C+A.这样我们也有运动In(t) = T-1c(t)cn(t)c-(t)T, In(O) = In因此(Tn)bM(A) = In(1) = WT,W-1,这里W=T-1cA'c-1T.由入的选取，(Tn)bM(A）=In，因而W=Fn现在我们把D形变收缩到Dd形变收缩到an：这样，c变成了aD上一段圆弧，连接an,u,而W变成cAc-1,I变成平凡环路cc-1.因此，cAc-1在D"-K'内同伦于平凡环路。这■就推出A平凡，从而入=1E元i(D-Kan），与假设矛盾！2.6辫群的实现设H1,..,Hn-1是B=Bm[D,K]的标架。显然辫确定了K是的一个置换，因此有同态Pn：Bn→Sn，Pn(H)=Qi，这里ai=（i,i+1).由命题1.2.1,这是满同态.我们设Pn=Kerpn考虑群Bn=(1,",n/[ci,]=(ai,aj)=1,[i-l>1)这里[r,]：=ayr-ly-1,(a,g)=ryary-la-l-1我们也有满同态pn：Bn—Sn，Pn(ri)=0我们设P=Kerpn.P是B，中包含诸a?的最小正规子群.进一步，我们定义同态un：Bn一→Bn，n（a）=H.由命题2.3.2，vn也是满的.容易验证以下交换图成立，1→Pn→Bn Sn -tpnpthn-Bn-Sn11.P显见nlp，是满射，事实上，我们有更强的结论，-16 -
第二章辩群的基础知识定理2.6.1（Artin定理）nlp，：Pn→Pn和m：Bn→Bn都是同构，特别地，Bn=(H1,-.,Hn-1/[Hi,Hl=(Hi,Hi+1)=1,[i-]>1)证明证明n是同构比较困难.我们这里不再讨论.现在假设已知该结论成立.由蛇形-引理易知n是同构.因为n（ai）=H，所以H所满足的关系都来自于xi满足的关系，下面我们来找出纯辫群Pn的生成元.设Zy =aj-1i+2a+a+2af-,ij.T.a我们罗列一些简单的性质，请读者自己验证，引理2.6.1(1)(Z)=Zij，(2) Z, ePn, Z2, E Pn(3)(Z,)=(Zi-1)=1,(4) Z-15 = Zggi-1z9, Zi+1j = Z) aZu命题2.6.1P，由诸乙,生成证明注意到乙i+1=所以我们只需证明1可以由诸Z的乘积表达进一步，注意到z=2(Z所以我们只需要验证，z中的一个满足结论即可，以下依次罗列各情形的表达式，请读者自己验证(1) =, [i-1,],(2) *27-1=2-1.(3) miZg1-Z+1j(4) Zg1 =Zg, ke[i+1,j-2] (6) 1z0-1-z3-2(6) aza=Zug+1-推论2.6.1Pn由诸Z生成2.7正辫与Dehn扭转设B+：=B+（H1.Hn-）是由形如QHQ-1生成的半群引理2.7.1设（Hi，**,Hn-1）是Bn的另一标架，则Bt(Hi....,Hn-1)=Bt(H'....,Hh-)证明每个H都可以写成QHQ-1，Q这样就有2EBn（见习题2.4)-Bt（Hi...，Hh-1)CB.类似可证另一包含关系.这样，B+的定义是合理的，我们称之为正辫。每个正半扭辫都落在B+中，而B+中的素元就是那些正半扭辫，取定一个正半扭辫H，因为任何其他正半扭都与它共轭，所以B，的Abe-17-