第一章群的预备知识-进一步由归纳法即得结论本章习题习题1.1完成命题1.1.1的证明习题1.2证明命题1.1.3的结论习题1.3在命题1.1.4的记号与假设条件下，证明：如果IN是N的生成元，IH是H的生成元，那么N中包含S的最小子群就是包含Sr=(n-Inh|neIn, heIu)的最小正规子群。习题1.4假设G是有限生成群，1,*,an是生成元．我们定义G+(r1,，an）是由形如QrQ-1（QEG)的诸元素生成的子半群.如果9EG+不能分解成两个或更多G+中元素乘积，我们就称9是素的，证明：(1)G+是正规半子群，(2)如果EG+是素的，那么g可写成Q;Q-1的形式，(3）素元的共轭仍是素的.习题1.5设G是群，t,sEGm，其中t是由通过Hurwitz变换R-l的得到.证明：(1)t1.t2..tm=S1-82..8m,(2){ti,，tm]EG当且仅当[81,，8m]EG(3）所有的t都是素的，当且仅当所有si都是素的，(4)如G是自由群，则（s1,.…,5m)是G的自由基当且仅当(t1,,tm)是G的自由基,(5)设s,=sii,i=1,,m，假设[cic]=[ci,s]]=1,Vi,j，那么R($1,,sm)=(tici,,tk-1Ck-1.tkck+1,t++1ck,t+2ck+2,*..,tmCm)习题1.6设Fn是自由群，gEFn，证明：(1)若g=Ist,则degg=,degs1.(2) deg g-1 = - deg g,(3)若gEF，则degg>0,(4)g是素的当且仅当degg=1,(5）每个gEF+都是degg个素元的乘积习题1.7设Sn是n阶置换群，H是其子群，且由若干对换生成。假设H可迁地作用在n个点上，证明：H=Sm-8-
第二章辨群的基础知识第二章辫群的基础知识2.1带孔圆盘的基本群设D是平面R2内的闭圆盘，K=U-,W是D内部若干互不相交的可缩子集W的并uEaD是边界上的取定点.设T是连接u和W,道路.T可以诱导1(D-K）中的元素(T)具体做法如下：取包含W，的小邻域Vi，设ci是V的边界，t=T-VinT是简单道路，于是I(T)=tUcUt构成πi(D-K)中的环路.我们现在要求(Ti，·,Tn）满足(1) TnWj=0, ij.(2)Un-Tn=u.(3)对绕u的充分小圆周c(u)，u,=T;nc(u)是单点集，且点集(ui,.，un)恰好沿着c(u)逆时针排列.假如(TI，,T)是另一组满足此条件的道路集合，并且有I(T）=I(T)，Vi，那么我们就说(Ti，...,Tn）与(T"...,T）等价．我们把这种道路集合的等价类称作（D-K,u）中的丛(Bush)，记作(Ti，,Tn).它诱导了元i(D－K)作为自由群的一组基（(T),,l(Tn))，称为πi(D一K）的几何基(Geometric basis)，简称为g-基(g-base).命题2.1.1任何两组g-基都相差有限步Hurwitz变换■证明由习题2.1与Artin定理1.3.1立得g-基的Hurwitz变换R自然诱导了丛《Ti，，Tn）的Hurwitz变换(T=T,i+k,h+1,R:T%= T#+1-(T)-1,( Tk+1 = Tk,这里我们暂时以uED作为终点，以上等式是在同伦意义下给出-9-
第二章辨群的基础知识引理 2.1.1RR+1R=R+1RRk+1证明由下图立得R2O我们也可以讨论g-基上的Hurwitz变换.容易验证,T,→l(T)建立的丛与g-基之间的对应是和Hurwitz变换相容的2.2辫群的定义设D.u同上，K是D内n个点组成的集合.设B是所有满足以下条件的微分同胚构成的群：βEBβ(K)=K,βlaD=IdlaD每个这样的微分同胚自然诱导π1(D－K,u）上自同构，即有典范同态w : B→ Aut(i(D-K,u).我们称Bn[D,K]：=Im()为辩群（Braidgroup)，其中的元素称为辩（Braid)，换言之，辫群也可以看成B商掉一个等价关系.该等价关系是指：如果β1.β2EB诱导π1(D一K,u）上相同的自同构，那么β1，β2等价.注2.2.1对任何别的圆盘D'及K'（n=K'),显见B[D',K]=Bn[D,K].因此辫群定义实际上不依赖于D,K的位置■为什么要称Bn[D,K]为“辫群"呢？我们可以用另一种方式来定义辫群，由此很容易从直观上理解这个名称的来源.设Mn:=[(zl,..,zn)eCn|zi+zji+j).-10-
第二章辩群的基础知识对称群Sn自然作用在Mn上（即交换坐标）.因此可设Mn:=Mn/Sn.设D(a1,，an）是多项式方程2n +a1zn-1 +...+ an =0的判别式：那么M，同构于Cn挖掉由D(a1,，an）=0定义的判别式超曲面(Discriminanthypersurface）后的补空间。选择合适的基点后，我们可以定义如下基本群Bn=i(Mn)Pn := Ti(Mn),它们有如下正合列1Pn→BnSm1Pn称为n条弦的纯辫群(Purebraidgroup)，Bn称为n条弦的辫群(Braidgroup)。事实上，Bn = Bn[D, K].从直观上看，π1(M，）中的元素可以视作如下图形因此它可以自然地想象成我们通常理解的“辫子”2.3辫群的标架命题2.3.1(1)任何bEBm[D,K]将g-基变成g-基,(2）任何两组9-基之间存在唯一的辩变换，将其中一个变成另一个证明(1)bEB[D,K] 将任何丛变成新的丛，从而也将g-基变成g-基(2)D－K中任何两个丛都可以通过某个保持边界aD不动的微分同胚，将其中一个变为另-个，因此这就意味着任何两组9-基可以通过某个辨，将其中一个变成另一个，注意到这样的变-换是由9-基唯一确定的，因此由辩的定义可知，这样的辫是唯一的对K任何两点a,b，找一条简单道路连接a,b,U是的正则小邻域由习题2.2，可找到一个辫H(>)，恰好交换了α和b，且在D-U上是恒同映射我们称H()为（正）半扭辩(Half-twist braid)-11 -
第二章辨群的基础知识Hrr如果使用辫群的另一种定义，即Bn=T1(M），那么Rk对应的半扭辫直观图如下：IXI设K={ai,,an],1,..,n-1是D-oD中的简单道路，满足：(1）连接ai,i+1，(2)0,[i->1,%n(ai+1,j=i+1.设H；=H(%)是%的半扭辫.我们将有序组（H1,,Hn-1)称作B[D,K)的标架(Frame).特别地，如果诸皆直线段，那么这组标架就称为线性标架（Linearframe)设（Ti，.,Tn）是从u出发连接各a的丛，要求0jii-1(2-1)nT:aij=i,i-1.设I;=(T),(0)）=(T1,,n）是该丛诱导的g-基.显然，(0)上的Hurwitz变换R诱导的辫就是Hk.引理2.3.1设beBm[D,K], T =T(0)b 是另一组 g-基 (右作用)。设 Rk,b E Bn[D,K]是 上的Hurwitz变换Rk诱导的辩，那么R走=b-1H走1b.证明■由HRh的定义直接验证立得命题2.3.2Bn|D,K]的标架生成BnD,K].-12 -