第二节数量积向量积混合积两向量的数量积两向量的向量积三、向量的混合积返回MathGS公式上页下页线与面数学家
第二节 数量积 向量积 *混合积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
第二节数量积向量积混合积一、两向量的数量积引例设一物体在常力F的作用下作直线运动，位F移为s，力与位移的夹角为θ，如图所示则力所作的功为meSW =|Flls|coso在其他很多问题中，也会碰到对两个向量作相同的运算，因此需要对这种运算进行研究，上页下页返回MathGS公式数学家线与面
第二节 数量积 向量积 *混合积 一、两向量的数量积 引例 设一物体在常力 F 的作用下作直线运动，位 移为 s ，力与位移的夹角为，如图所示． F s 则力所作的功为 W =| F | | s| cos . 在其他很多问题中，也会碰到对两个向量作相同的 运算，因此需要对这种运算进行研究．
第二节数量积向量积混合积1.定义定义1对于任意两个向量a和b，称|alb|cose为ab与b的数量积，记作a·b，即0a·b=lallblcosea引例中功即为 W=F·S当向量a≠0 时，Prj.b=[blcosθ，故a· b=|a]Prjab同理，当b≠0时，有a·b=lbiPrjra.下页返回MathGS公式数学家上页线与面
第二节 数量积 向量积 *混合积 1. 定义 定义1 对于任意两个向量a和b，称| a | | b | cos 为a 与b的数量积，记作 a ·b ，即 a · b = | a | | b | cos a b 引例中功即为 W = F s. 当向量a 0 时，Prjab = |b|cos ，故 a · b = | a | Prjab 同理，当 b 0 时，有 a · b = | b | Prjba ．
第二节数量积向量积混合积2.性质(1)a:a=|a|2 ;(2)a上b台a·b=03.运算规律(1)交换律 a·b=b·a;(2)结合律a (a·b)=(2a)·b=a·(2b) (3)分配律(a+b)·c=a·c+b·c.证明包下页返回MathGS公式数学家上页线与面
第二节 数量积 向量积 *混合积 2. 性质 (1) a · a = | a | 2 ； (2) a ⊥ b a · b = 0． 3. 运算规律 (1) 交换律 a · b = b · a ； (2) 结合律 (a · b) = (a) · b = a · (b) ； (3) 分配律 (a + b) · c = a · c + b · c ． 第二节 数量积 向量积 混合积 证明 (1) 交换律 a ·b = b ·a ； (2) 结合律 (a ·b) = (a) ·b = a ·(b) ； (3) 分配律 (a + b) ·c = a ·c + b ·c ． 只证分配律．当 c = 0 时， a b c a + b Prjc a Prjc b Prjc (a+b) 显然成立， (a + b) ·c = | c | Prjc (a+b) = | c | (Prjc a + Prjc b) = | c | Prjc a + | c | Prjc b = a ·c + b ·c ． 当 c 0 时， 证毕
第二节数量积向量积混合积例1用向量的方法证明三角形的余弦定理，C解白baBA4.数量积的坐标表示C设 a=ai+aj+ak,b=bi+bj+bk，则a·b=(ai+aj+a.k).(bi+bj+b.k)=abi.i+abi.j+abi.k+a,bxj.i+a,b,j.j+a,b.j.k+abk.i+ab,k.j+a.b.k.kMathGS上页下页返回公式数学家线与面
第二节 数量积 向量积 *混合积 例1 用向量的方法证明三角形的余弦定理． 第二节 数量积 向量积 混合积 例1 用向量的方法证明三角形的余弦定理． 解 b a A c B C 对任意的ABC，令 AB = c ,CB = a ,CA= b . 则 c = a – b ． 从而有 c 2 = c ·c = (a – b) ·(a – b) = a ·a – 2a ·b + b ·b = | a | 2 + | b | 2 – 2 | a | | b | cosC ． 即 | c | 2 = | a |2 + | b |2 – 2 | a | | b | cosC . 余弦定理 4. 数量积的坐标表示 设 a i j k , b i j k , = ax + ay + az = bx + by + bz 则 a b ( i j k) ( i j k) ax ay az bx + by + bz = + + k i k j k k j i j j j k i i i j i k + + + + + + = + + z x z y z z y x y y y z x x x y x z a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a A c B C