习题课元函数微分法福基本概念二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页
习题课 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法
基本概念一极限、连续1.多元函数的定义、定义域及对应规律·判断极限不存在及求极限的方法·函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系连续性偏导数存在方向导数存在可微性HIGHEDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页
一、 基本概念 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习xy1.讨论二重极限lim时，下列算法是否正确x->0 x+yJ-0解法1原式= lim011-0J-Oyk令y=kx,原式=lim x解法2"1+kx-0解法3令x=rcose,y=rsinercosOsin0原式=lim0r->0cos 0+ sin 0HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页
思考与练习 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论二重极限 解法1 0 1 lim 1 1 0 0 = + = → → y x y x 原式 解法2 令 y = kx , 解法3 令 x = r cos , y = rsin , 时, 下列算法是否正确?
分析：xllim:lim解法1x-0 1± 1x->0x+yXJ-OJ-0此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况，第二步未考虑分母变化的所有情况例如,=时,+=1,此时极限为1k2令y=kx，原式=limx解法2 x→0 1+k例如=x2-x时此法排除了沿曲线趋于原点的情况原式= limx->0HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页
分析: 解法1 0 1 lim 1 1 0 0 = + = → → y x y x 解法2 令 y = kx , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y = x 2 − x时 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, , , 1, 1 1 1 = + = x− y x x 例如 y 时
解法3今x=rcoso,y=rsin0r cos 0sin 0原式= limr-0cos 0+ sin 0此法忽略了θ的任意性，当r→0,θ→-时rcosOsin0rcosOsine极限不存在！cos+sinの/2sin(+)因为都不能保证由以上分析可见，三种解法都不对自变量在定义域内以任意方式趋于原点.同时还可看到本题极限实际上不存在特别要注意在某些情况下可以利用极坐标求极限但要注意在定义域内r，θ的变化应该是任意的HIGHEDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束机动
解法3 令 x = r cos , y = rsin , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法忽略了 的任意性, 极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在