S3 可积条件判别一个函数f(x)在[a,bl上是否可积，就是判别极限肥含()4,是否存在,在实际应用中,直接按定义来判定是困难的·我们希望由函数本身的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别函数的可积性.为此，先给出可积准则，并以此证明有界性是可积的必要条件而非充分条件，连续性是可积的充分条件而非必要条件。前页后页返回
前页 后页 返回 判别一个函数 f (x) 在[a, b]上是否可积,就是判别 §3 可积条件 的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别 → = 0 1 lim ( ) n i i T i 极限 f x 是否存在. 在实际应用中， 直接按定义来判定是困难的. 我们希望由函数本身 函数的可积性. 为此, 先给出可积准则,并以此证明 有界性是可积的必要条件而非充分条件, 连续性是 可积的充分条件而非必要条件. 返回
定理9.1（可积必有界）若函数f在[a,bl上可积，则f在la,bl上必有界证设6f(x)dx = J.由定义,对ε=1>0,38>0,只要T<8,无论T与 5; =[xi-1, x,I (i=1,2,…,n) 如何选取,都有nEf(5,)Ax, -J <1,i=1于是后页返回前页
前页 后页 返回 定理9.1 (可积必有界） 若函数 f 在 [a,b] 上可积，则 f 在 [a,b] 上必有界. 证 设 f (x)dx J. b a = 由定义, 对 = 1 0 0 , , T , T 只要 无论 1 Δ 1 n i i i f ( ) x J , = − 于是 1 [ , ] ( 1,2, , ) , i i i 与 如何选取 都有 = x x i n −
Z(5,)4x, ≤0/+1- M.i=1倘若 f(x)在[a,bl上无界，则必有k,使得 f(x)在[x-1,x,]上无界.令Ef(5,)Ax;G=i+k故必存在E[x-1,x,],满足M+G[()>AXk后页返回前页
前页 后页 返回 −1 [ , ] . k k x x 上无界 令 ( )Δ , i i i k G f x = 故必存在 满足 k k k x x −1 , , 1 Δ 1 n i i i f ( ) x J M . = + = ( ) . k k M G f x + 倘若 在 上无界， f x a b ( ) [ , ] 则必有 k ,使得 在 f x( )
nZ(5,)Ax)于是i=1≥/ f(5h)Ax/-Ef(5.)Ax;i*kM+GAXk - G = M,Axk矛盾.以下例子告诉我们，有界性并不是可积的充分条件返回前页后页
前页 后页 返回 于是 1 ( )Δ n i i i f x = 矛盾. 以下例子告诉我们, 有界性并不是可积的充分条件. ( ) k k i i Δ ( )Δ i k f x f x − Δ , k k M G x G M x + − =
例1试用反证法证明：狄利克雷函数D(x）在任何区间[a,b]上不可积证若D(x)在[a,bl上可积,则日JR,日S>0当 T|<8 时, 对任何5, =[xi-1, x;l, 有2D(5,4,-小i=1现任取 5, eQn[x,-1,x,l, i=1,2,,n, 则ZD(5,)Ax,-ZAx,=1.i-1i-1前页后页返回
前页 后页 返回 i i i Q [ , ], 1,2, , , 1 现任取 = x x i n − 则 1 1 ( )Δ Δ 1. n n i i i i i D x x = = = = 证 若 D(x) 在 [a, b] 上可积 , 则 J R, 0, 1 1 ( )Δ . 2 n i i i D x J = − 例1 试用反证法证明:狄利克雷函数 D x( )在任何 区间 上不可积 [ , ] a b . 当 时 T , −1 [ , ], i i i 对任何 有 x x