《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章多元函数微分法及其应用_第三节全微分

第三节全微分、全微分的定义一二、全微分在近似计算中的应用三、二元函数可微的几何意义返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第三节 全微分 一、全微分的定义 *二、全微分在近似计算中的应用 三、二元函数可微的几何意义

第三节全微分一、全微分的定义1.多元函数的增量设z=f (x,y),Az=f(x+△x,)-f(x,y) 称为z对x的偏增量A,z=f(x,+Ay)-f(x,) 称为z对y的偏增量△z=f(x +△x,+Ay)-f(x,J) 称为全增量下页返回MathGS公式数学家上页线与面

第三节 全微分 一、全微分的定义 1. 多元函数的增量 设 z = f (x , y)， x z = f (x + x , y) - f (x , y) 称为 z 对 x 的偏增量； y z = f (x , y + y ) - f (x , y) 称为 z 对 y 的偏增量； z = f (x + x , y + y) - f (x , y) 称为全增量．

第三节全微分2.可微的定义定义女如果函数z=f（x,)在定义域D的内点(x，）处的全增量Az=f(x+Ax+Ay)-f(x)可表示成△z =A△x +B Ayl+o(p), p= /(x)? +(Ay)?其中A，B不依赖于△x，Ay，仅与x，y有关，则称函数f(x,J)在点(x,J) 可微,A△x+B△称为函数f(x,)在点（αx，J）的全微分，记作dz = d f = AAx + By女在D内可微若函数在域D内各点都可微，则称此函数MathGS上页下页返回公式数学家线与面

第三节 全微分 定义如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )  z = Ax + B y + o( ) , 其中 A , B 不依赖于x , y , 仅与 x , y 有关， 称为函数f ( x, y ) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz = d f = Ax + By . 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处的全增量 z = f (x + x , y + y) - f (x , y) 可表示成 则称此函数在D 内可微. A x B y Δ + Δ ( ) ( ) , 2 2  = x + y 2. 可微的定义

第三节全微分可微与连续的关系设z=f(x,y)在(x,J)可微，即△z = A△x + B Ay+o(p),则 lim△z = lim [(A△x + B△y)+o(p)]= 0(Ax,Ay)→(0,0)p-0萬得limf(x+△x,y+Ay) = f(x,y)(Ax,Ay)-→(0,0)即函数z=f(α)在点(α)可微函数在该点连续MathGS上页下页返回公式线与面数学家

第三节 全微分 可微与连续的关系 设z = f (x , y)在(x , y)可微，即  z = Ax + B y + o( ) , 则 lim ( ) ( ) 0   = Ax + By + o → 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 ( , 0,0 ) ( ) lim ( , ) x y f x x y y   → 得 +  +  ( , 0,0 ) ( ) lim x y z   →  = 0, = f (x, y). 函数在该点连续 即

第三节全微分3.可微的条件定理1(必要条件）若函数z=f(xJ）在点(xJ)可微Ozaz必存在，且有则该函数在该点的偏导数axoyazozdz=AyAx+oxay证明台定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)的偏导数f(x,y),f(x,y)在点(x,y)连续，则函数在该点可微分证明台返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第三节 全微分 3. 可微的条件 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y)可微, 则该函数在该点的偏导数 y z x z     , 必存在，且有 d y . y z x x z z     +   = 第三节 全微分 证明 因函数在点(x, y) 可微, 故  z = Ax + By + o(  ), z f (x x, y) f (x, y) A x o( x ) . x = +  − =  +  令y=0，得到对 x 的偏增量 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y)可微, 则该函数在该点的偏导数 y z x z     , 必存在，且有 d y . y z x x z z     +   = 定理2 (充分条件) 若函数z = f (x, y)的偏导数 fx (x, y), fy (x, y)在点(x, y)连续，则函数在该点可微分. 第三节 全微分 证明 = [ f (x + x, y + y) ] 定理2 (充分条件) z = f (x + x, y + y) − f (x, y) (0 , 1 ) 1  2  f x y x = [ x ( , ) + ]       f x y y y = f x (x +1 x, y + y)x + y ( , + 2  ) − f (x, y + y) +[ f (x, y + y ) − f (x, y)] f x y y +[ y ( , ) + ] 若函数z = f (x, y)的偏导数 f x (x, y), fy (x, y)在点(x, y)连续，则函数在该点可微分.   lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x