第七节方向导数与梯度、方向导数二、梯度三、数量场与向量场返回MathGS公式上页下页线与面数学家
第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度 三、数量场与向量场
第七节方向导数与梯度一、方向导数1.定义偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率，但许多物理现象告诉我们，只考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的：例如，热空气要向冷的地方流动，气象学中就要确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率，因此我们有必要来讨论函数沿任一指定方向的变化率问题.上页下页返回MathGS公式线与面数学家
第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 1. 定义 偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率．但许 多物理现象告诉我们，只考虑函数沿坐标轴方向的变化 率是不够的．例如，热空气要向冷的地方流动，气象学 中就要确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率．因 此我们有必要来讨论函数沿任一指定方向的变化率问 题．
第七节方向导数与梯度设1是xOy平面上以Po(xo,yo)为始点的一条射线，ej=(cosα，cosβ)是与l同方向的单位向量P(x,y)射线1的参数方程为Po(xo , yo)x= x+tcosα,(t≥0)Oxy= yo +tcos β设函数 z=f (x,y)在点Po(xo,yo)的某个邻域 U(Po)内有定义,P(xo+tcosα,yo+tcosβ)为l 上另一点,且PeU(Po),如果函数增量f(xo+tcosα,Jo+tcosβ)-f(xo,yo）与P到P的距离PPol=t的比值MathGS上页下页返回公式线与面数学家
第七节 方向导数与梯度 x y P0 (x0 , y0 ) P(x , y) l el O 设 l 是 xOy平面上以P0 (x0 , y0 )为始点的一条射线， el = (cos , cos)是与 l 同方向的单位向量. 射线 l 的参数方程为 ( 0). cos , cos , 0 0 = + = + t y y t x x t 设函数 z = f (x , y)在点P0 (x0 , y0 )的某个邻域 U(P0 )内 有定义, P(x0+tcos , y0+tcos)为l 上另一点,且PU(P0 ). 如果函数增量 f (x0+tcos , y0+tcos) – f (x0 , y0 ) 与P到P0 的距离|PP0 | = t 的比值
第七节方向导数与梯度tyf(xo +tcosα, yo +tcosβ)- f(x,y)teP(x,y)当P沿着1趋于P.(t→>0+)时的极限存在Po(xo, yo)则称此极限为函数f(x，y)）在点P沿方向xaf，即1的方向导数，记作all(xo,yo)aff(xo+tcosa,yo+tcos)-f(x,y)= limal1t->0+(xo,yo)上页下页返回MathGS公式数学家线与面
第七节 方向导数与梯度 , ( cos , cos ) ( , ) 0 0 t f x + t y + t − f x y 当P沿着 l 趋于P0 (t→0 + )时的极限存在， 则称此极限为函数 f (x , y) 在点P0沿方向 l 的方向导数，记作 , ( , ) 0 0 x y f l 即 . ( cos , cos ) ( , ) 0 0 ( , ) 0 lim 0 0 t f f x t y t f x y x y t + + − = → + l x y P0 (x0 , y0 ) P(x , y) l el O
第七节方向导数与梯度aff(xo +tcosa, yo +tcosβ)- f(x,y)limalt1-0+1(xo,yo)af就是函从方向导数的定义可知，方向导数all(xo,yo)数f(x，y)在点P沿方向l的变化率返回MathGS公式数学家上页下页线与面
第七节 方向导数与梯度 t f f x t y t f x y x y t ( cos , cos ) ( , ) 0 0 ( , ) 0 lim 0 0 + + − = → + l 从方向导数的定义可知，方向导数 ( , ) 0 0 x y f l 就是函 数 f (x , y) 在点P0沿方向 l 的变化率．