S4 定积分的性质本节将讨论定积分的性质，包括定积分的线性性质、关于积分区间的可加性、积分不等式与积分中值定理，这些性质为定积分研究和计算提供了新的工具一、定积分的性质二、积分中值定理前页后页返回
前页 后页 返回 §4 定积分的性质 一、定积分的性质 本节将讨论定积分的性质, 包括定积分 的线性性质、关于积分区间的可加性、积 分不等式与积分中值定理, 这些性质为定 积分研究和计算提供了新的工具. 二、积分中值定理 返回
一、定积分的性质性质1若f在「a,bl上可积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积,且[kf(x)dx=k[" f(x)dx.证 记 J=[' f(x)dx. 由于 在[a, b]上可积, 故V>0,38>0,当|T<8时,对一切5, [x-1,x,l,82(5,)Ax,-A1+1i=1从而后页返回前页
前页 后页 返回 [ , ] ( )d ( )d . b b a a 在 上也可积，且 a b k f x x k f x x = 证 ( )d . b a 记 J f x x = 由 在 上可积 故 f a b [ , ] , 一、定积分的性质 1 0, 0, [ , ], T x x i i i 当 时,对一切 − 1 ( )Δ . 1 n i i i f x J k = − + 从而 性质1 若 f 在 [ a,b ] 上可积，k 为常数, 则 k f
nnEkf(5;)Ax;-kJ -|klEf(5)Ax; - Ji-1i-18<k<8.k/+1因此 kf 在 [a, b] 可积, 且["kf(x)dx= k[" f(x)dx.性质2 若f,g在[a,bl上可积,则f±g在[a,b]上可积, 且 I (f(x)± g(x)dx=[" f(x)dx±[ g(x)dx.证记 J,=I' f(x)dx, J,=],g(x)dx. 于是 Vs> 0,38 >0, 当 T<8时,V5, =[xi-, x,l, i=1,2,.,n,前页后页返回
前页 后页 返回 1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i k f x kJ k f x J = = − = − 因此 kf a b 在[ , ] , 可积 ( )d ( )d . = ba ba 且 kf x x k f x x 性质 2 若 在 上可积 f g a b , [ , ] , 则 在 上 f g a b [ , ] 可积, 且 ( ( ) ( ))d ( )d ( )d . b b b a a a f x g x x f x x g x x = 证 1 2 ( )d , ( )d . b b a a J f x x J g x x = = 记 于是 0, 1 0, [ , ], 1,2, , , T x x i n i i i = 当 时， − . 1 k k +
八5)(5,)4号i=1从而E(f(5,)±g(5,)1Ax, -(J, ± J,)i=1Ef(5,)Ax, -J, +Eg(5,)Ax,-J,≤i=1888二22因此，f±g在「a,bl上可积,且返回前页后页
前页 后页 返回 1 1 ( )Δ , 2 n i i i f x J = − 2 1 ( )Δ . 2 n i i i g x J = − 从而 1 2 1 [ ( ) ( ) ]Δ ( ) n i i i i f g x J J = − 1 2 1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i f x J g x J = = − + − . 2 2 + = 因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且
['(f(x)±g(x)dx = [' f(x)dx± [' g(x)dx.性质3若f,g在[a,b]上可积，则fg在[a,b]上也可积。证 因f,g在[a,b]上可积,故在[a,b]上都有界,即 3M >0, Vxe[a, b], f(x)/≤M, g(x) ≤M8V>0,存在分割T,使,Ax,又存在分2MT8割T"，使w'Ax2MT"后页返回前页
前页 后页 返回 性质3 若 f g a b f g a b , [ , ] [ , ] 在 上可积，则 在 上 证 因 在 上可积，故在 上都有界, f g a b a b , [ , ] [ , ] 即 M x a b f x M g x M 0, [ , ], ( ) , ( ) . 0, , Δ ; 2 f i i T T x M 存在分割 使 又存在分 Δ . 2 g i i T T x M 割 ，使 ( ( ) ( ))d ( )d ( )d . b b b a a a f x g x x f x x g x x = 也可积