《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章曲线积分与曲面积分_第七节斯托克斯公式、环流量与旋度

第七节斯托克斯公式环流量与旋度一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无 关的条件 *三、环流量与旋度

第七节斯托克斯公式环流量与旋度一、斯托克斯公式(Stokes）斯托克斯(Stokes)公式是格林公式的推广．格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面上的曲面积分与沿着乙的边界曲线的曲线积分联系起来下页返回MathGS公式数学家上页线与面

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 一、斯托克斯公式(Stokes) 斯托克斯 (Stokes)公式是格林公式的推广. 格林公 式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的 曲线积分间的关系， 而斯托克斯公式则把曲面上的 曲面积分与沿着 的边界曲线的曲线积分联系起来

第七节斯托克斯公式环流量与旋度定理1设是分段光滑的空间有向闭曲线，Z是以厂为边界的分片光滑的有向曲面，厂的正向与的侧符合右手规则,函数 P(x,,z)、Q(x,,z)、R(x,,z)在曲面（连同边界厂）上具有一阶连续偏导数，则有ORapORaQapaQdxdydydz+dzdx+ayazOzOxaxOyPdx+Qdy+Rdz证明包板书包斯托克斯公式返回MathGS公式上页下页线与面数学家

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 定理1 设 是分段光滑的空间有向闭曲线，  是以  为边界的分片光滑的有向曲面， 函数 P(x , y , z)、Q(x , y , z)、R(x , y , z) 在 曲面 (连同边界 )上具有一阶连续偏导数，则有 d d d . d d d d d d   = + +           −    +        −   +           −   Γ Σ P x Q y R z x y y P x Q z x x R z P y z z Q y R 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 证明 情形1 设 与平行 z 轴的直线相交不多于一点, 设其方程为 : ( , ), ( , ) , Dx y Σ z = f x y x y  取上侧 (如图).  的正向边界曲线 在 xOy 面上的投 影为平面有向曲线C. 下面利用两类曲面积之间的联系 以及格林公式，证明   n Dxy C x z O 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 板书证明 定理1 设 是分段光滑的空间有向闭曲线，  是以  为边界的分片光滑的有向曲面， 函数 P(x , y , z)、Q(x , y , z)、R(x , y , z) 在 曲面 (连同边界 )上具有一阶连续偏导数，则有  的正向与 的侧符 合右手规则，   n Dxy C x z O  的正向与的侧符 合右手规则， 斯托克斯公式

第七节斯托克斯公式环流量与旋度为便于记忆，斯托克斯公式还可写作：dydz dzdx dxdyaaaPdx +Qdy+ RdzaxOzoyZPQR或用第一类曲面积分表示：cOsBCOSYCOSαaaad S = $ Pdx + Qdy+ Rdz .oxOzoyZP0R下页返回MathGS公式数学家上页线与面

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:   = + +       Σ Γ P x Q y R z P Q R x y z y z z x x y d d d . d d d d d d 或用第一类曲面积分表示: d d d d . cos cos cos   = + +       Σ Γ S P x Q y R z P Q R x y z   

第七节斯托克斯公式环流量与旋度ORapORapQ00dxdydzdx+dydz+axoyOzzOxoyZ$Pdx+Qdy+Rdz在斯托克斯公式中，如果z=常数，即是平行于xOy面的平面，则斯托克斯公式就变成apa0Jdxdy = $Pdx +QdyaxayD这就是格林公式，所以，格林公式是斯托克斯公式的特殊情形，上页下页返回MathGS公式数学家线与面

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 d d d . d d d d d d   = + +           −    +        −   +           −   Γ Σ P x Q y R z x y y P x Q z x x R z P y z z Q y R 在斯托克斯公式中，如果 z = 常数，即 是平行于 xOy 面的平面，则斯托克斯公式就变成 d d d d ,   = +           −   D L x y P x Q y y P x Q 这就是格林公式．所以，格林公式是斯托克斯公式的 特殊情形．