临沂大学（临沂师范学院）：《数学分析》课程教学资源（讲义）第二十章 曲线积分

精品课程《数学分析》课外训练方案 第20章曲线积分 基本概念 1、第一型曲线积分的定义 设L为平面上可求长的曲线段,f(x,y)为定义在L的函数,对曲线L作分割T,它把L分割为n格可 求长度的小曲线段L(1=1…,n),L的孤长记为As,分割7的细度为= manAs,在L上任取一点 (5,n1)(=1…,n)。若有极限 靶∑(5,n)A= 存在,并且J与分割T和点(5门)的选取无关。则称此极限为∫(x,y)在L上的第一型曲线积分,记作 f(x, 、第一型曲线积分的计算 x=(1) 定理:设有光滑曲线L y=w’t∈[a,B,函数f(x,y)为定义在L上的连续函数,则 fs(r, y)ds=r/((),y(92(+2()dt 3、第二型曲线积分 设函数P(x),Q(x)定义在平面有向可求长度曲线L上。对L的任一分割T,它把T分为n个小弧段 M1M1(i=1…,n,其中M6=A,Mn=B。记各小曲线段MM的弧长为As,|/=maxs} 并记Ax=x-x-,y=y1-y-1,(i=1,…,n),又设任意(5,m)∈M=1M,若极限 ∑P(5,)x+m∑Q(5,m 存在且与分割T与点(5,)的取法无关,则称此极限为函数P(x),Q(x)沿有向线段L上的第二型曲线积分 记为|Ps+Qh。 4、第二型曲线积分的计算 (1) 设平面曲线L y=w().t∈[a,月,其中o(1),()在,上具有一阶连续导函数,且点A与B 的坐标分别为((a),v(a)和(叫(B),v(B)。又设P(x),Q(x)为L的连续函数,则沿L从A到B的第二型

精品课程《数学分析》课外训练方案 1 第 20 章 曲线积分 一、基本概念 1、第一型曲线积分的定义 设 L 为平面上可求长的曲线段， f (x, y) 为定义在 L 的函数，对曲线 L 作分割T ，它把 L 分割为 格可 求长度的小曲线段 （ ）， 的弧长记为 n Li i = 1,L, n Li i ∆s ，分割T 的细度为 i i n T = ∆s 1≤ ≤ max ，在 Li 上任取一点 ( , ) ξ i ηi （i = 1,L, n ）。若有极限 f J n i i i T ∑ ∆ = = → 1 i 0 lim (ξ ,η ) s 存在，并且 J 与分割T 和点( , ) ξ i ηi 的选取无关。则称此极限为 f (x, y) 在 L 上的第一型曲线积分，记作 ∫L f (x, y)ds 。 2、第一型曲线积分的计算 定理:设有光滑曲线 ， ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) : y t x t L ψ ϕ t ∈[α, β ]，函数 f (x, y) 为定义在 L 上的连续函数，则 f x y ds f x t y t t t dt L ( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) 2' 2' ϕ ψ β α = + ∫ ∫ 3、第二型曲线积分 设函数 P(x),Q(x) 定义在平面有向可求长度曲线 L 上。对 L 的任一分割T ,它把T 分为 个小弧段 （ ），其中 ， n Mi−1Mi i = 1,L, n M 0 = A M n = B 。记各小曲线段 的弧长为 , Mi−1Mi i ∆s max{ } 1 i i n T = ∆s ≤ ≤ , 并记 ,（ ），又设任意( 1 1 , ∆ i = i − i− ∆ i = i − i− x x x y y y i = 1,L, n ξ i η j , )∈ Mi−1Mi ,若极限 i n i i i T ∑P ∆x = → 1 0 lim (ξ ,η ) + i n i i i T ∑Q ∆y = → 1 0 lim (ξ ,η ) 存在且与分割T 与点(ξ i η j , )的取法无关,则称此极限为函数 P(x),Q(x) 沿有向线段 L 上的第二型曲线积分, 记为 Pds Qdy 。 L + ∫ 4、第二型曲线积分的计算 设平面曲线 ， ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) : y t x t L ψ ϕ t ∈[α, β ]，其中ϕ(t) ，ψ (t) 在[α, β ]上具有一阶连续导函数，且点 A 与 B 的坐标分别为(ϕ(α),ψ (α)) 和(ϕ(β ),ψ (β )) 。又设 P(x),Q(x) 为 L 的连续函数，则沿 L 从 A 到 B 的第二型

精品课程《数学分析》课外训练方案 曲线积分P+b=1P(w()(+0oy)h 、基本方法和基本要求 (会)利用公式 f(x, y)ds=f(r(o), y(Ovo(0+y(ndt 和 Pds P((1),y()g(1)+Q(q(1),v(D)y()]dt 计算第一型和第二型曲线积分 典型例题 例1求(+y=+2x)d,其中L是球面x2+y2+2=a2与平面x+y+5=0的交线 解法1J(+x+x)=12x+y+ [(x+y+)2-(x2+y2+2)ds (x-+y2+2 ds=二a[ds=-m3 解法2求曲线L的参数方程。由x2+y2+z2=a2,x+y+x=0消去y,得 (x+)2+ 即(x+5)2=21(1-n2=2),令=1 asin,则 )=±c=c y=-(x+3=+-coSt-sint 于是得到两组参数方程

精品课程《数学分析》课外训练方案 2 曲线积分 Pds Qdy ＝ 。 L + ∫ [P(( (t), (t)) (t) Q( (t), (t)) (t)]dt ' ' ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ β α + ∫ 二、基本方法和基本要求 （会）利用公式 f x y ds f x t y t t t dt L ( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) 2' 2' ϕ ψ β α = + ∫ ∫ 和 Pds Qdy L + ∫ ＝ [P(( (t), (t)) (t) Q( (t), (t)) (t)]dt ' ' ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ β α + ∫ 计算第一型和第二型曲线积分。 三、典型例题 例 1 求 ∫ + + ，其中 L (xy yz zx)ds L 是球面 与平面 2 2 2 2 x + y + z = a x + y + z = 0 的交线。 解法 1 ∫ + + L (xy yz zx)ds ∫ = + + L 2(xy yz zx)ds 2 1 ∫ = + + − + + L [(x y z) (x y z )]ds 2 1 2 2 2 2 ∫ + + − = L (x y z )ds 2 1 2 2 2 ∫ = − − = L ds a a 3 2 2 π 解法 2 求曲线 L 的参数方程。由 ， 2 2 2 2 x + y + z = a x + y + z = 0 消去 y ，得 2 2 2 2 x + (x + z) + z = a 即 ) 2 3 (1 2 ) 2 ( 2 2 2 2 z a z a x + = − ，令 z asin t 3 2 = ，则 ) 2 3 (1 2 2 2 2 2 z a z a x = − ± − t a t a sin 6 cos 2 = ± − t a t a y x z sin 6 cos 2 = −( + ) = m − 于是得到两组参数方程

精品课程《数学分析》课外训练方案 In t -asinI =l-asint 我们可任选一组,例如第一组。显然,被积函数和L都具有轮换对称性,则 I(xy+yz+ex) ds=3 eds Sint(cos、l sinox(0)+y2()+=(dr 3a|sinr(cos-、l 3 sin(dt=-ajsin2tdt=-ma' 解法3作坐标旋转。就坐标是(x,y),新坐标是(X,),旋转角为6,则旋转变换的一般公式为 Sine+rcos e 因为平面x+y+=0的单位法为万=51,则它与轴的夹角余弦为0p=下面分两 步进行旋转,先将Ox平面旋转,得新坐标系On1;再将O平面旋转φ,得新坐标系Onw。即 O 由旋转公式得 = wcos -usin g l=wsinφ+ucosφ 于是得 (ucosφ-v+ wsin o) (ucosφ+v+ wsin g) cosφ

精品课程《数学分析》课外训练方案 3 t a t a x sin 6 cos 2 = − t a t a x sin 6 cos 2 = − − t a t a y sin 6 cos 2 = − − ， t a t a y sin 6 cos 2 = − z asin t 3 2 = z asin t 3 2 = 我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和 L 都具有轮换对称性，则 ∫ + + L (xy yz zx)ds ∫ = L 3 zxds ∫ = 2π 0 2 3a sin t t sin t) x (t) y (t) z (t)dt 3 1 (cos 2 2 2 − ′ + ′ + ′ ∫ = 2π 0 3 3a sin t t sin t)dt 3 1 (cos − 3 2 0 3 2 a sin tdt πa π = − = − ∫ 解法 3 作坐标旋转。就坐标是(x, y) ，新坐标是(X ,Y ) ，旋转角为θ ，则旋转变换的一般公式为 x = X cosθ −Y sinθ ， y = X sinθ + Y cosθ 因为平面 x + y + z = 0 的单位法矢为 {1,1,1} 3 1 n = r ，则它与 z 轴的夹角余弦为 3 1 cosφ = 。下面分两 步进行旋转，先将Oxy 平面旋转 4 π ，得新坐标系Ou′vz；再将Ozu′平面旋转φ ，得新坐标系Ouvw。即 Oxyz Ou′vz Ouvw 由旋转公式得 ( ) 2 1 x = u′ − v z = wcosφ − u sinφ ( ) 2 1 y = u′ + v u′ = wsinφ + u cosφ 于是得 ( cos sin ) 2 1 x = u φ − v + w φ ( cos sin ) 2 1 y = u φ + v + w φ z = wcosφ − u sinφ

精品课程《数学分析》课外训练方案 在这组变换下,曲线L:x2+y2+z2=a2,x+y+z=0变为u2+y2+w2=a2,w=0,故 J(xy+y=+ ax)ds =3 xyds=J(ucos p-v)ucos+v)ds=Jaucos2p-v2)ds 2-31)d=(a2+y)-4=m2-2n sIn 例2计算曲线积分 =∫(2-2)+(x2-x2)+(x2-y)k, (1)L是球面三角形x2+y2+z2=1,x>0,y>0,z>0的边界线,从球的外侧看去,L的方向 为逆时针方向 (2)L是球面x2+y2+z2=a2和柱面x2+y2=ax(a>0)的交线位于Oy平面上方的部分,从x轴 上(b0,0)b>a)点看去,L是顺时针方向 解(1)显然,L具有轮换对称性,且被积表达式也具有轮换对称性,将L分为三段 L1 0(x>0 0) L2: y 0(y>0,z>0) L3:x2+2=1,y=0(x>0,z>0) 则1=∫02-=2)+(=2-x)0+(x2-y 3∫(y2-=)+(=2-x)+(x2-y L1 3y2-x=3」(-x)-3J(-y2)h= Day +(x-y)dc 到(2-)=3+ 于y2+3-2=于(-x2)dx-3」 (2)曲线关于Ozx平面对称,且方向相反 =|(y2-=2dx+|(y

精品课程《数学分析》课外训练方案 4 在这组变换下，曲线 L ： ， 2 2 2 2 x + y + z = a x + y + z = 0 变 为 u 2 + v 2 + w 2 = a 2 ， w = 0 ， 故 ∫ + + L (xy yz zx)ds ∫ = L 3 xyds ∫ = − + L (u cos v)(u cos v)ds 2 3 φ φ ∫ = − L (u cos v )ds 2 3 2 2 2 φ u v ds L ( 3 ) 2 1 2 2 = − ∫ u v v ds L [( ) 4 ] 2 1 2 2 2 = + − ∫ 3 2 0 3 3 2 πa 2a sin tdt πa π = − = − ∫ 例 2 计算曲线积分 ∫ = − + − + − L I ( y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 ， （1） L 是球面三角形 1， ， ， 的边界线，从球的外侧看去， 2 2 2 x + y + z = x > 0 y > 0 z > 0 L 的方向 为逆时针方向； （2） L 是球面 和柱面 的交线位于Oxy 平面上方的部分，从 轴 2 2 2 2 x + y + z = a ( 0) 2 2 x + y = ax a > x 上(b,0,0)(b > a) 点看去， L 是顺时针方向。 解 （1）显然， L 具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将 L 分为三段 L1： 1， （ ， ） 2 2 x + y = z = 0 x > 0 y > 0 L2 ： 1， （ ， ） 2 2 y + z = x = 0 y > 0 z > 0 L3 ： 1， （ ， ） 2 2 x + z = y = 0 x > 0 z > 0 则 ∫ = − + − + − L I ( y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 ∫ = − + − + − 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 L y z dx z x dy x y dz ∫ = − 1 2 2 3 L y dx x dy 3 (1 ) 3 (1 ) 4 1 0 2 0 1 2 = − − − = − ∫ ∫ x dx y dy 或 ∫ = − + − + − L I ( y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 ∫ = − L 3 ( y z )dx 2 2 ∫ ∫ ∫ = 3( + + )( − ) 2 2 L L L y z dx 1 2 3 ∫ ∫ = + − 1 3 2 2 3 3 L L y dx z dx 3 (1 ) 3 (1 ) 4 1 0 2 0 1 2 = − − − = − ∫ ∫ x dx x dx （2）曲线关于Ozx平面对称，且方向相反 ∫ − L ( y z )dx 2 2 ∫ ≥ = − , 0 2 2 ( ) L y y z dx ∫ ≤ + − = , 0 2 2 ( ) 0 L y y z dx

精品课程《数学分析》课外训练方案 同理∫(x2-y)k=∫(x2-y2)=J(x2-y2)=0 故=J(2-2)+(x2-x)+(x2-y2)k=J(2-x2) 下面求曲线L的参数方程。 方法1利用球面的参数方程 x=acos g, y=asin Osino, 2= acos o, 代入柱面方程x2+y2=ax得sinp=cosO,于是得L的参数方程 x=acos2b,y= asin a 0,= alsin,从到z 方法2利用柱面的参数方程x=+c0s日,y=sinO,代入球面方程 x2+y2+z2=a2,得L的参数方程 x2?2c0nb,z= a sin。|,b从2z到0 aa 不妨取方法1中的参数方程进行计算 (=2-x2)dy=a2[sin20-cos*]]a(cos20-sin20)de r/2 2a'[1-cos20-cos](2 cos26-1)de =-2a'(1+3cos 8-cos 0)de n-2+4-4.2.2-26.4.2.21=2m 四、自测题 1.计算下列第一型曲线积分: ()J(x2+y),其中L是以(0,0),(2,0),(0,1)为项点的三角形 ∫Vx+yds,其中L是圆周x2+y2=ar: (3),xzds,其中L为螺线x= a cos t,y= a sin t,z=b1(0<a<b),0≤t≤2; ()Jy2ds,其中L为摆线的一拱x=a(t-sin)y=a(1-cos.0≤≤2r 2.计算下列第一型曲面积分:

精品课程《数学分析》课外训练方案 5 同理 ∫ − L (x y )dz 2 2 ∫ ≥ = − , 0 2 2 ( ) L y x y dz ( ) 0 , 0 2 2 = − = ∫ L y≤ x y dz 故 ∫ = − + − + − L I ( y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 ∫ = − L (z x )dy 2 2 下面求曲线 L 的参数方程。 方法 1 利用球面的参数方程 x = a cosθ sinφ ， y = a sinθ sinφ ， z = a cosφ ， 代入柱面方程 x + y = ax 得 2 2 sinφ = cosθ ，于是得 L的参数方程 θ2 x = a cos ， y = a sinθ cosθ ， z = a | sinθ | ， θ 从 2 π 到 2 π − 方法 2 利用柱面的参数方程 cosθ 2 2 a a x = + ， sinθ 2 a y = ，代入球面方程 2 2 2 2 x + y + z = a ，得 L的参数方程 cosθ 2 2 a a x = + ， sinθ 2 a y = ， | 2 | sin θ z = a ， θ 从 2π 到0 不妨取方法 1 中的参数方程进行计算， ∫ = − L I (z x )dy 2 2 ∫ − = − − / 2 / 2 2 2 4 2 2 [sin cos ] (cos sin ) π π a θ θ a θ θ dθ ∫ = − − − 0 / 2 3 2 4 2 2 [1 cos cos ](2cos 1) π a θ θ θ dθ ∫ = − − + − − / 2 0 3 2 4 6 2 ( 1 3cos cos 2cos ) π a θ θ θ dθ 3 3 2 ] 6 4 2 2 5 3 2 4 2 2 3 4 3 2 1 2a [ a π π = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − − + − 四、自测题 1．计算下列第一型曲线积分： (1) 2 2 ( ) L x + y ds ∫ ，其中 L 是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形； (2) 2 2 L x + y ds ∫ ，其中 L 是圆周 2 2 x + y = ax ； (3) L xyzds ∫ ，其中 L 为螺线 x = = a t cos , y a sin t , ( z b = t 0 < < a b),0 ≤ t ≤ 2π ； (4) ，其中 2 L y ds ∫ L 为摆线的一拱 x a = ( s t − = in t), y a(1− cost),0 ≤ t ≤ 2π 。 2．计算下列第一型曲面积分：