2由平行截面面积求立体体积 解球冠体积可看作是曲线y=√R2-x2,R-h≤x≤R绕 x轴旋转而得到的,所以体积为 =x[R2x-1x2]1=mh2(R-B 4.求曲线x=Ro3t,y=Rsin3连上绕x轴旋转 所得立体体积(这里R为正实数) 解V dr= rr"sin tdRcos't 5.导出曲边梯形0≤y≤f(x),a≤x≤b绕y轴 旋转所得立体的体积公式为 图10-2-4 证如曲线梯形,绕y轴旋转一周后,其在x处的截面图形面积 (为一圆柱的侧面积)为 A f(x)a≤x≤b 则仿照课本思想,所围立体体积为 V=2rxf(x)dx证毕 6.求0≤y≤sinx,0≤x≤r所示平面图 形绕y轴旋转所得立体的体积 解曲线y=sinx可分成两部分 ,0≤y≤1 用y=t截这个立体,其截面面积为 图10-2-6 A(r)=[(- arcsin )2-(arcsin )2] 3-2r2 arcsin
第十章定积分的应用 即面积函数为A(y)=x2-2x2 arcsin,故 V=|(3-2 S3平面曲线的弧长与曲率 1.求下列曲线的弧长 ≤x≤ (3)x=a∞s3t,y=asin3t(a>0),0≤t≤2r; (4)I= a(oost tsint),y= a(sint-toost(a >0),0<ts 2 (5)r=asin3(a>0),0≤0≤3x; (6)r=a0(a>0),0≤0≤2x 解(1)由于y=3x,故 dr (1 (10√10-1) (2)由√x+ 1得y=(1 )2,0≤x≤1, 从而,y=-(1-√x)/x,所以, 2x-2√x+1d√x =1+y2ln(1+√2) (3)由于x′=-3aos2tint,y=3ain2tost,所以 S 3avsin2toos't (sin?t +cost )dt sin2t i dt 6 (4)因为x= atcost,y= atsina,所以