A的列向量组线性无关,它们是列空间的 个基 任意一个向量b在一个确定的基下的坐标 是唯一的 >第三章的结论,方程组AX=b只有唯一解.↑ 如果把b换成零向量θ,θ必然在列空间 中(平凡解)
➢ A 的 列 向 量 组 线 性 无 关 ， 它 们 是 列 空 间 的 一个基. ➢ 任意一个向量 b 在一个确定的基下的坐标 是唯一的. ➢ 第三章的结论，方程组 A X = b 只有唯一解. ↑ ➢ 如果把 b 换成零向量θ，θ必然在列空间 中(平凡解)
定义:矩阵Am×n的零空间,又称核空间( null space), 是一组由下列公式定义的n维向量 Nmxn)={x|Ax=}≤Rn 4x=θ的解空间,零空间 零空间就是AX=0的全部解向量的集合 当然,零空间是R的子空间
➢ N(Amn ) = {x | Ax = } Rn ——Ax = 的解空间，零空间 定义:矩阵Am×n的零空间，又称核空间(null space)， 是一组由下列公式定义的 n 维向量 ➢ 零空间就是A X = 0 的全部解向量的集合 . ➢ 当然，零空间是 Rn的子空间
A的列向量组线性无关,r(A)=n,此时A的 零空间只有一个0向量 >A的列向量组线性相关,r(A)<m,AX=0的 基础解系就是它的一组基 基础解系所含向量个数是nr(A),所以A的 零空间维数是nr(A) >零空间也还可以看作与A“垂直(正交)的 所有向量的集合,是行空间的正交补 列空间的正交补是ATX=0的零空间 注意区别于只含有零向量的零子空间
➢ A 的列向量组线性无关，r(A)=n, 此时A 的 零空间只有一个 0 向量 . ➢ A 的列向量组线性相关，r(A)< n, A X = 0 的 基础解系就是它的一组基. ➢ 基础解系所含向量个数是 n-r(A) ，所以A的 零空间维数是 n-r(A). ➢ 零空间也还可以看作与A “垂直(正交)”的 所有向量的集合，是行空间的正交补 . ➢ 注意区别于只含有零向量的零子空间. ➢ 列空间的正交补是 AT X = 0 的零空间
、过渡矩阵与坐标变换公式 问题:在n维线性空间V中,任意n个线性无关的 向量都可以作为V的一组基 我们也接触过几个标准基: >Rn的标准基是(e1,e2,…,en R2×2的标准基是E1 10 00 E2-(00 00 E21 E >Px]n的标准基是(1,x2,…,x)
三、过渡矩阵与坐标变换公式 问题：在 n 维线性空间 V 中，任意 n个线性无关的 向量都可以作为 V 的一组基． ➢ R n的标准基是 (e1 , e2 , ..., en ) ➢ 我们也接触过几个标准基： ➢ R 2×2的标准基是 = = = = 0 1 0 0 , 1 0 0 0 , 0 0 0 1 , 0 0 1 0 21 22 11 12 E E E E ➢ P[x]n的标准基是(1 , x 2 , ..., x n )
尽管标准基形式简单,但是很多实际问题中 标准基并不是最适用的. 可以类比直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系、切平 面一法向量坐标系、特征值问题等等 对不同的基,同一个向量的坐标是不同的 那么,同一向量在不同基下的坐标有什么关系呢? 换句话说,随着基的改变,向量的坐标如何改变呢? 不同的基可视作不同的参考坐标系, >所以,这实际上是不同参考坐标系下的坐标转化问题
那么，同一向量在不同基下的坐标有什么关系呢？ ➢ 不同的基可视作不同的参考坐标系， ➢ 所以，这实际上是不同参考坐标系下的坐标转化问题. ➢ 对不同的基，同一个向量的坐标是不同的． ➢ 换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？ ➢ 尽管标准基形式简单，但是很多实际问题中 标准基并不是最适用的． ➢ 可以类比直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系、切平 面—法向量坐标系、特征值问题等等．