复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第四章 线性空间与欧氏空间 §4.2 基、维数和坐标 §4.3 欧几里德（Euclid）空间

例如:在R2中,我们希望用新的基取代标准基(e1,e2) l= (1)给定一个向量x=(x1x2),求它在基u1u2下的坐标; (2)给定一个向量c在u1,2下的坐标 C=C,u+ 3 求它在标准基(e1,e2)下的坐标。 (2)较为简单: 1=3e1+2e2 31 (e1,e2).M u=e,+e (u1,u2)=(e1,e2 2 >由此得到 C=cu1+c2u2=c(3e1+2e2)+c2(e1+e2) (3c1+c2)e1+(2c1+c2)e c在标准基下的坐标(x1,x2)T为x Mc

例如：在 R2 中，我们希望用新的基取代标准基(e1 , e2 ) (1) 给定一个向量 x =(x1 , x2 ) T，求它在基 u1 , u2 下的坐标; (2) 给定一个向量 c 在u1 , u2 下的坐标c = c1u1+ c2u2 ， 求它在标准基(e1 , e2 )下的坐标。 (2)较为简单：       =       = 1 1 , 2 3 u1 u2    = + = + 2 1 2 1 1 2 3 2 u e e u e e ➢ 由此得到 (3 2 ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 c = c u +c u = c e + e +c e +e 1 2 1 1 2 2 = (3c +c )e +(2c +c )e ➢ c在标准基下的坐标 (x1 , x2 ) T为 x M c c c =              = 2 1 2 1 3 1  = M      u ,u = (e ,e ) (e ,e ) 1 2 1 2 1 2 2 1 3 1 ( )

Mc >显然,对于(1)一给定x=(x1,x2)T,求它在基u1,u2下的 坐标是(2)的逆过程: C M 2 例如:给定向量x=(7,4)T,求它在基u1,u2下的坐标 23(4 所以,x=3u1-2u2

x M c c c =              = 2 1 2 1 3 1 c = x               =        = − − 1 2 1 1 2 1 2 1 3 1 M x x c c 例如： 给定向量 x =(7, 4 ) T，求它在基 u1 , u2 下的坐标               = − 4 7 2 1 3 1 1 c               − − = 4 7 2 3 1 1         − = 2 3 所以， x = 3u1 - 2u2 .       =       = 1 1 , 2 3 u1 u2 ➢ 显然，对于(1)— 给定 x =(x1 , x2 ) T，求它在基 u1 , u2 下的 坐标是(2)的逆过程：

区定义4,6:设1,乱2,…,En和E'1,e2,…,E'n是n 维线性空间V中的两个基,且有 E'1=m151+m21E2+…+mnn I lIn 2=m4m2E2+…+m,5nM=2 =mna t.tmn8 2 nnn×n 借助矩阵表示为12E2…,En]=,E2…E1]M1 则称矩阵M为由基E1,e2,…,n到基 19E2 n的过渡矩阵( transition matrix)

则称矩阵 M 为由基ε1 , ε2 , ..., εn 到 基 ε' 1 , ε' 2 , ..., ε' n 的过渡矩阵(transition matrix).  定义 4.6: 设 ε1 , ε2 , ..., εn 和 ε' 1 , ε' 2 , ..., ε' n 是 n 维线性空间 V 中的两个基，且有：        = + + + = + + + = + + + n n n n n n n n n n m m m m m m m m m                      1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 ' ' ' 借助矩阵表示为 [ ' 1 , ' 2 ,  , ' n ] =[ 1 , 2 ,  , n ]M              = n n nn n n n n M m m m m m m m m m        1 2 21 22 2 11 12 1

基变换公式 122n 基变换公式 过渡矩阵是基与基之间的一个可逆线性变换

基变换公式 [ ' 1 , ' 2 ,  , ' n ] =[ 1 , 2 ,  , n ]M • 基变换公式 ➢ 过渡矩阵是基与基之间的一个可逆线性变换

区定理4,3:设E'1,E2,…,E'n和 l2…8 是n维线性空间V中的两个基,且有: ,En]=[E1,E2…,En] 则(1)过渡矩阵M是可逆的 (2)若a∈V,且在基s1,E2,…,En和 e'1,E'2,…,'n下的坐标分别为x1,x2, 和 x1,x2…,x2nT,则有x x2(25)

 定理 4.3: 设 ε' 1 , ε' 2 , ..., ε' n 和ε1 , ε2 , ..., εn 是 n 维线性空间 V 中的两个基，且有： 则 [ ' 1 , ' 2 ,  , ' n ] =[ 1 , 2 ,  , n ] M (1) 过渡矩阵 M 是可逆的； (2) 若 α∈V，且在基 ε1 , ε2 , ..., εn 和 ε' 1 , ε' 2 , ..., ε' n 下的坐标分别为 [x1,x2,...,xn ] T 和 [x'1,x'2,...,x'n ] T ，则有 (2.5) ' ' ' 2 1 2 1             =             n n x x x M x x x  