第四章 线性空间 在代数、分析及几何中通常会遇到一些对象,需要对它们实施加法或乘法(数 乘)运算,如实数、复数、几何中平面或空间中的向量、分析中给定的函数等等.也 许有人认为这些对象本质上是不同,它们定义的加法和乘法或数乘运算相互之间除 了名称相同之外没有共同之处.但是若关注这些不同类型对象上定义的运算,会发 现这些运算本身具有很多相同的性质,例如这些对象相加的结果与被加项的次序无 关(交换律),又如相加还满足结合律,乘法(数乘)与加法还满足分配律等.因此本章 引入的线性空间将关注这些不同对象间运算时共同的东西,而不拘泥于具体的对 象,若将这些具有不同性质的对象视作集合,也就是集合中的对象间能够实施“加 法”及‘乘法(数乘)”运算,又满足一些规律,这个集合将被称作线性空间.当然在具体 对象的性质没有明确之前不能说明它们之间是如何进行运算的,但可以先假定这些 运算服从一定的算术规律,再以适当的形式将这些规律叙述成公理的形式 在给出线性空间的严格定义之前,先简单介绍运算、代数系统、域等概念 设F为给定的集合,F上的二元运算(用符号。表示该运算)定义为 o:FxF→F 其中F×F为集合F的笛卡尔积,这个定义可以推广到n元运算.若运算的结果还 是F中的元素,则称运算是封闭的.关于运算定义了下列性质 可结合:Ⅵx,y,z∈F有(xoy)2=x0(yoz) 2.可交换:Vx,y∈F有xoy=yox 以及跟运算相关的特殊元素 1.单位元( (identities:e∈F,使得Vx∈F都有eox=roe=x,则称e为运算 o的单位元 2.逆元( inverse:x∈F若存在元素y∈F使得roy=yox=e,则称y为x关 于运算。的逆元 代数系统是指由集合F及其上定义的一些运算构成的系统,表示为 〈F运算1,运算2,…,运算k) 域是一种代数系统,指在集合F上定义了“加法”和“乘法”的二元运算(分别用 符号“+”和“”表示),这两个运算在F上封闭,且它们还满足下述规则
第四章 线性空间 在代数、分析及几何中通常会遇到一些对象, 需要对它们实施加法或乘法(数 乘)运算, 如实数、复数、 几何中平面或空间中的向量、分析中给定的函数等等. 也 许有人认为这些对象本质上是不同, 它们定义的加法和乘法或数乘运算相互之间除 了名称相同之外没有共同之处. 但是若关注这些不同类型对象上定义的运算, 会发 现这些运算本身具有很多相同的性质, 例如这些对象相加的结果与被加项的次序无 关(交换律), 又如相加还满足结合律, 乘法(数乘)与加法还满足分配律等. 因此本章 引入的线性空间将关注这些不同对象间运算时共同的东西, 而不拘泥于具体的对 象, 若将这些具有不同性质的对象视作集合, 也就是集合中的对象间能够实施“加 法”及‘乘法(‘数乘)”运算, 又满足一些规律, 这个集合将被称作线性空间. 当然在具体 对象的性质没有明确之前不能说明它们之间是如何进行运算的, 但可以先假定这些 运算服从一定的算术规律, 再以适当的形式将这些规律叙述成公理的形式. 在给出线性空间的严格定义之前, 先简单介绍运算、代数系统、域等概念. 设 F 为给定的集合, F 上的二元运算(用符号 ◦ 表示该运算)定义为: ◦ : F × F → F 其中 F × F 为集合 F 的笛卡尔积, 这个定义可以推广到 n元运算. 若运算的结果还 是 F 中的元素, 则称运算是封闭的. 关于运算定义了下列性质: 1. 可结合: ∀x, y, z ∈ F 有 (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z). 2. 可交换: ∀x, y ∈ F 有 x ◦ y = y ◦ x. 以及跟运算相关的特殊元素: 1. 单位元(identities): ∃e ∈ F, 使得 ∀x ∈ F 都有 e ◦ x = x ◦ e = x, 则称 e 为运算 ◦ 的单位元. 2. 逆元(inverse): x ∈ F 若存在元素 y ∈ F 使得 x ◦ y = y ◦ x = e, 则称 y 为 x 关 于运算◦ 的逆元. 代 数 系 统 是 指 由 集 合 F 及 其 上 定 义 的 一 些 运 算 构 成 的 系 统, 表 示 为 F, 运算1, 运算2, . . . , 运算k . 域是一种代数系统, 指在集合 F 上定义了“ 加法”和“ 乘法”的二元运算(分别用 符号“+” 和“×” 表示), 这两个运算在 F 上封闭, 且它们还满足下述规则: 1
1.运算“+”可结合 2.运算“+”可交换 3.F中存在加法单位元“0” 4.V∈F存在加法逆元y∈F使得x+y=0,通常将y记成-r,称加法逆元为 负元 5.运算“×”可结合 6.运算“×”可交换 7.F中存在乘法单位元“1 8.F中任意非“0”元素x,存在乘法逆元,常记成x-1 9.运算x对+成立分配律,即:Vx,y,z∈F有x×(y+2)=x×y+x×2 则代数系统(F,+,×)称为域.在不产生混淆的前提下,为了方便,两个元素相乘axb 时,就直接写成ab 例1.考虑整数集Z上的加法和乘法,因除了1之外其它非零整数不存在乘法逆元,因 此{Z,+,×)不是域 不难验证有理数集Q、实数集R、复数集C上定义的加法和乘法构成的都是域.这 也是为什么有理数集、实数集或复数集常被称作有理数域、实数域或复数域,而没 有人会称整数域或自然数域 例2.集合F2={0,1}上定义模2加法“由2”和乘法“⑧2”,即vx,y∈F2 x⊕2y=x+ymod2 易证代数系统(F2,⊕2,⑧2)是域,通常被称作二进制域 当构成域的集合是有限集时,也称为有限域 4.1线性空间的概念 4.1.1线性空间的定义 定义4.1.集合V是由定义在数域F上的对象构成的非空集合,称这些对象为元素, 关于这些元素及数域定义了“加法”和“数乘”运算,若运算若满足下列公理 L.封闭性公理 (1)加法运算封闭,即vx,y∈V则x+y∈V (2)数乘运算封闭,即A∈F,Wx∈V则x∈V Ⅱ.关于加法的公理 (3)加法可交换,即wx,y∈V有x+y=y+x (4)加法可结合,即x,y,z∈V有(x+y)+z=x+(y+z (5)V中存在零元0加法单位元,使得x∈V有x+0=0+x=x
1. 运算“+” 可结合. 2. 运算“+” 可交换. 3. F 中存在加法单位元 “0”. 4. ∀x ∈ F 存在加法逆元 y ∈ F 使得 x + y = 0, 通常将 y 记成 −x, 称加法逆元为 负元. 5. 运算“×” 可结合. 6. 运算“×” 可交换. 7. F 中存在乘法单位元 “1”. 8. F 中任意非“0”元素x, 存在乘法逆元, 常记成 x −1 . 9. 运算 × 对 + 成立分配律, 即: ∀x, y, z ∈ F 有 x × (y + z) = x × y + x × z. 则代数系统hF, +, ×i称为域. 在不产生混淆的前提下, 为了方便, 两个元素相乘 a × b 时, 就直接写成 ab. 例 1. 考虑整数集 Z上的加法和乘法, 因除了1之外其它非零整数不存在乘法逆元, 因 此 hZ, +, ×i 不是域. 不难验证有理数集Q、实数集 R、复数集 C 上定义的加法和乘法构成的都是域. 这 也是为什么有理数集、实数集或复数集常被称作有理数域、实数域或复数域, 而没 有人会称整数域或自然数域. 例 2. 集合 F2 = {0, 1}上定义模2加法“⊕2”和乘法“⊗2”, 即 ∀x, y ∈ F2 x ⊕2 y = x + y mod 2 x ⊗2 y = xy mod 2 易证代数系统 hF2, ⊕2, ⊗2i 是域, 通常被称作二进制域. 当构成域的集合是有限集时, 也称为有限域. 4.1 线性空间的概念 4.1.1 线性空间的定义 定义 4.1. 集合 V 是由定义在数域 F 上的对象构成的非空集合, 称这些对象为元素, 关于这些元素及数域定义了“加法”和“ 数乘”运算, 若运算若满足下列公理 I. 封闭性公理 (1) 加法运算封闭, 即 ∀x, y ∈ V 则 x + y ∈ V . (2) 数乘运算封闭, 即 λ ∈ F, ∀x ∈ V 则 λx ∈ V . II. 关于加法的公理 (3) 加法可交换, 即 ∀x, y ∈ V 有 x + y = y + x. (4) 加法可结合, 即 ∀x, y, z ∈ V 有 (x + y) + z = x + (y + z). (5) V 中存在零元0(加法单位元), 使得 ∀x ∈ V 有 x + 0 = 0 + x = x. 2
(6)V中任意元素x都存在负元-x(加法逆元)使得x+(-x)=0. I.关于数乘的公理 (7)数乘运算可结合,即Wx∈V以及数域中的任意数k,l∈F成立 k(lx)=(kl)x 8)存在数乘的单位元“1”,x∈V,有 (9)数乘对V中加法成立分配律,即k∈F及x,y∈V,有 k(x+y=kx+ky (10)数乘对数域F中的加法成立分配律,即k,∈F及Wx∈F有 就称V为数域F上的线性空间 线性空间定义中的加法是V×V→V的映射,数乘是F×V→V的映射,与 数域F上的加法、乘法运算之间有本质区别,虽然在符号使用上为了方便没有区别 但要清楚它们之间是不同的 例3.考虑平面上所有过原点的向量,它有长度和方向特征,采用平行四边形法则(或 三角形法则)定义向量之间的加法,而数乘为实数入与向量相乘,数乘结果是向量,它 的方向与数乘前向量的方向一致(A≥0)或则反向(<0),它的长度是数乘前向量长 度的川倍.若所有这些向量构成的集合表示成V,则V是定义在实数域上(向量长 度、方向用实数表示,可以验证向量加法和数乘运算满足线性空间空间定义中的 所有条件,所以它构成线性空间.在解析几何中讨论这些向量时,常将平面向量表示 平行四边形法则三角形法则 (A≥0)(A<0) (a)加法 (b)数乘 图41:几何向量的加法、数乘运算 成:[x1m2],它的长度为√+方向表示成向量与x轴的夹角,即向量的集 合(记为R2)为 定义向量加法和数乘运算 加法:Ly Tu+tu yu 数乘 3
(6) V 中任意元素 x 都存在负元−x(加法逆元) 使得 x + (−x) = 0. III. 关于数乘的公理 (7) 数乘运算可结合, 即 ∀x ∈ V 以及数域中的任意数k, l ∈ F 成立: k (lx) = (kl) x (8) 存在数乘的单位元“1”, ∀x ∈ V , 有 1x = x (9) 数乘对 V 中加法成立分配律, 即 ∀k ∈ F及∀x, y ∈ V , 有 k (x + y) = kx + ky (10) 数乘对数域 F 中的加法成立分配律, 即 ∀k, l ∈ F及 ∀x ∈ F 有 (k + l) x = kx + lx 就称 V 为数域 F 上的线性空间. 线性空间定义中的加法是 V × V → V 的映射, 数乘是 F × V → V 的映射, 与 数域 F上的加法、乘法运算之间有本质区别, 虽然在符号使用上为了方便没有区别, 但要清楚它们之间是不同的. 例 3. 考虑平面上所有过原点的向量, 它有长度和方向特征, 采用平行四边形法则(或 三角形法则)定义向量之间的加法, 而数乘为实数λ与向量相乘, 数乘结果是向量, 它 的方向与数乘前向量的方向一致(λ ≥ 0)或则反向(λ < 0), 它的长度是数乘前向量长 度的|λ|倍. 若所有这些向量构成的集合表示成 V , 则 V 是定义在实数域上(向量长 度、方向用实数表示), 可以验证向量加法和数乘运算满足线性空间空间定义中的 所有条件, 所以它构成线性空间. 在解析几何中讨论这些向量时, 常将平面向量表示 u v u + v u v u + v 平行四边形法则 三角形法则 u λu (λ ≥ 0) λu (λ < 0) (a) 加法 (b) 数乘 图 4.1: 几何向量的加法、数乘运算 成: x1 x2 T , 它的长度为 p x 2 1 + x 2 2 , 方向表示成向量与x轴的夹角, 即向量的集 合(记为 R 2 )为: R 2 = x y x, y ∈ R 定义向量加法和数乘运算: 加法: xu yu + xv yv = xu + xv yu + yv 数乘: λ xu yu = λxu λyu 3
yu A≥0 (a)加法 b)数乘 图42:解析几何中向量的加法、数乘运算 易证R2是线性空间,若推广到n(非零自然数)阶向量,即 ∈R(i=1,2,,m) 结论也成立.因Rn常与几何向量联系在一起,所以也称为n阶向量空间.若Rn是 定义在实数域R上,也称实线性空间或实向量空间.若定义在复数域C上,称C为 复线性空间或复向量空间 例4.设集合V由定义于数域F上的所有m×n阶矩阵构成,按前述章节中给出的 矩阵加法和数乘运算易证构成数域F上的线性空间,通常也将V记成Fm×n,若 F=R,称为m×n阶实矩阵(线性)空间,记为Rm×n,若F=C,称为m×n阶复矩 阵(线性)空间,记为Cmx 例5.数域F上所有一元多项式(多项式系数是F中元素)全体构成的集合记为F 按通常的多项式加法和多项式数乘运算,构成数域F上的线性空间.若将数域F上 次数不超过n次的一元多项式全体构成的集合记为F可1n,在多项式加法和数乘下也 构成线性空间 例6.设集合C{a,是由区间a列上所有连续实函数构成,按通常方法定义函数加 法和数乘(实数与函数相乘)运算,构成的也是线性空间 根据线性空间定义可知它具有下列性质: 1.V中的零元“0”是唯一的 证由公理(5)可知V中存在零元,假设01和02是两个零元,根据公理(5) 01=01+02=02=0 2.Wx∈V其负元是唯一的 证假设x存在两个负元x1和x2,根据公理(6)有 +(x+ 0是数域F中的零元,x∈V成立0x=0(其中等式右端的0是V中的零元)
x y u v u + v xu yu xv yv xu + xv yu + yv x y u λu λ 0u xu yu λxu λyu λ 0xu λ 0 yu λ ≥ 0 λ 0 < 0 (a) 加法 (b) 数乘 图 4.2: 解析几何中向量的加法、数乘运算 易证 R 2 是线性空间, 若推广到n(非零自然数)阶向量, 即 R n = x1 x2 · · · xn xi ∈ R(i = 1, 2, . . . , n) 结论也成立. 因 R n 常与几何向量联系在一起, 所以也称为 n 阶向量空间. 若 R n 是 定义在实数域 R 上, 也称实线性空间或实向量空间. 若定义在复数域 C 上, 称 C n 为 复线性空间或复向量空间. 例 4. 设集合 V 由定义于数域F上的所有 m × n阶矩阵构成, 按前述章节中给出的 矩阵加法和数乘运算易证构成数域 F 上的线性空间, 通常也将 V 记成 F m×n, 若 F = R, 称为m × n阶实矩阵(线性)空间, 记为 R m×n, 若 F = C, 称为 m × n 阶复矩 阵(线性)空间, 记为 C m×n. 例 5. 数域 F 上所有一元多项式(多项式系数是F中元素)全体构成的集合记为 F[x], 按通常的多项式加法和多项式数乘运算, 构成数域F 上的线性空间. 若将数域F 上 次数不超过n 次的一元多项式全体构成的集合记为F[x]n, 在多项式加法和数乘下也 构成线性空间. 例 6. 设集合 C[a, b] 是由区间 [a, b]上所有连续实函数构成, 按通常方法定义函数加 法和数乘(实数与函数相乘)运算, 构成的也是线性空间. 根据线性空间定义可知它具有下列性质: 1. V 中的零元“0” 是唯一的. 证 由公理(5)可知V 中存在零元, 假设 01 和 02 是两个零元, 根据公理(5) 01 = 01 + 02 = 02 = 0 2. ∀x ∈ V 其负元是唯一的. 证 假设 x 存在两个负元 x1 和 x2, 根据公理(6)有 x1 = x1 + 0 = x1 + (x + x2) = (x1 + x) + x2 = 0 + x2 = x2 = −x 3. 0 是数域F 中的零元, ∀x ∈ V 成立 0x = 0(其中等式右端的 0 是 V 中的零元). 4
证根据公理(8)、(9)有 +x=0x+1x=(0+1)x=1x=x 在等式两端加上x的负元-x,有 等式左端:0x+x+(-x)=0x+0=0x 等式右端:x+(-x)=0 因此0x=0 4.0是V的零元,Ⅵ入∈F有A0=0 证根据公理(10)有 0=A0 5.Wx∈V它的负元为(-1)x(其中-1为域F中1的负元 证由公理(8)、(9)有 x+(-1)x=1x+(-1)x=(1+(-1)x=0x=0 根据公理(6)知:(-1)x是x的负元 6.HA∈F,Wx∈V,有(-)x=A(-x)=-(Xx).(利用性质5证明 7.若Ax=0则A=0或x=0(利用性质3和4证明) 4.1.2线性子空间 许多问题中,一个“大”的线性空间的一部分,关于该线性空间的加法和数乘还 可形成线性空间,例如:几何空间中,任意一个过原点的平面关于几何向量的加法和 数乘运算也枃成线性空间(满足线性空间公理).显然,该平面是几何空间的一部分 且关于几何空间的运算构成线性空间.为此,引入子空间的概念 定义42.给定数域F上的线性空间V,设S是V的一个非空子集,同时S关于V上 的运算也构成线性空间,则称S为v的一个线性子空间 为了说明线性空间V的一个子集S是否为线性空间,不一定要按线性空间的十 条公理一一验证,仅需检查下列三条是否成立 定理411.S是数域F上线性空间V的非空子集,则当且仅当S满足封闭性公 理(1)、(2)时,它是V的子空间 证:必要性显然,下面证充分性: S是V的子集,因此公理(1)~(4)和(7)~(10)在S上自然成立 由S非空,则3x∈S,根据封闭性公理VA∈F,Ax∈S,取A=0,则Xx=0∈S, 因此,公理(5)满足 x∈S,取A=-1,由封闭性知(-1)x∈S,且 x+(-1)x=0 根据性质(5)可知(-1)x是x的负元,因此公理(6)满足 显而易见,仅包含V的零向量的集合和V本身都是线性空间V的子空间,称它们为平 凡子空间
证 根据公理(8)、(9) 有 0x + x = 0x + 1x = (0 + 1) x = 1x = x 在等式两端加上 x 的负元−x, 有 等式左端: 0x + x + (−x) = 0x + 0 = 0x 等式右端: x + (−x) = 0 因此 0x = 0 4. 0 是V 的零元, ∀λ ∈ F 有 λ0 = 0. 证 根据公理(10)有 0 = λ0 5. ∀x ∈ V 它的负元为 (−1) x(其中 −1 为域 F 中 1的负元). 证 由公理(8)、(9) 有 x + (−1) x = 1x + (−1) x = (1 + (−1)) x = 0x = 0 根据公理(6)知: (−1)x 是 x 的负元. 6. ∀λ ∈ F, ∀x ∈ V , 有 (−λ) x = λ (−x) = − (λx).(利用性质5证明) 7. 若 λx = 0 则 λ = 0 或 x = 0.(利用性质3和4证明) 4.1.2 线性子空间 许多问题中, 一个“大”的线性空间的一部分, 关于该线性空间的加法和数乘还 可形成线性空间, 例如: 几何空间中, 任意一个过原点的平面关于几何向量的加法和 数乘运算也构成线性空间(满足线性空间公理). 显然, 该平面是几何空间的一部分, 且关于几何空间的运算构成线性空间. 为此, 引入子空间的概念. 定义 4.2. 给定数域F上的线性空间V , 设 S 是V 的一个非空子集, 同时S 关于 V 上 的运算也构成线性空间, 则称S为V 的一个线性子空间. 为了说明线性空间V 的一个子集S是否为线性空间, 不一定要按线性空间的十 条公理一一验证, 仅需检查下列三条是否成立: 定理 4.1.1. S是数域F上线性空间V 的非空子集, 则当且仅当S满足封闭性公 理(1)、(2)时, 它是V 的子空间. 证: 必要性显然, 下面证充分性: S是V 的子集, 因此公理(1)∼(4) 和(7)∼(10) 在S 上自然成立. 由S 非空,则 ∃x ∈ S,根据封闭性公理 ∀λ ∈ F, λx ∈ S, 取 λ = 0, 则 λx = 0 ∈ S, 因此, 公理(5)满足. ∀x ∈ S, 取 λ = −1, 由封闭性知 (−1)x ∈ S, 且 x + (−1) x = 0 根据性质(5)可知 (−1)x是x的负元, 因此公理(6)满足. 显而易见, 仅包含V 的零向量的集合和V 本身都是线性空间V 的子空间, 称它们为平 凡子空间. 5