§4.2基、维数和坐标 区定义4.3:线性空间V中向量组:1,2,…,En 如果它满足条件: (1)s12,…,n线性无关; (2)线性空间V中任一向量a都可经e E2,…,n线性表示 则称此向量组是线性空间V的一个基( basis) 定义4,4:如果线性空间V的一个基所含向量 个数为n,则称V为n维空间,记为dimV=n
§4.2 基、维数和坐标 定义 4.3: 线性空间 V 中向量组 ε1 , ε2 , ..., εn ， 如果它满足条件： (1) ε1 , ε2 , ..., εn线性无关； (2) 线性空间 V 中任一向量α都可经ε1 , ε2 , ..., εn线性表示. 则称此向量组是线性空间 V 的一个基 (basis). 定义 4.4: 如果线性空间 V 的一个基所含向量 个数为 n,则称 V 为 n 维空间， 记为 dim V = n
定理4,2:设a1a2a1是n维线性空间V中 l个向量,在V中取定一个基ε1,e2,,en 如果a;在此基下的坐标为 ](j=1,2,…,D 则向量组ap,a2,∴,ar线性相关的充分必 要条件是矩阵「a1a12 1l 21 的秩rA<1 2 线性无关的充要条件是r=l.→稍后用到 由向量组坐标矩阵的秩→判定其线性相关性
定理 4.2: 设α1, α2, ..., αl 是 n 维线性空间 V 中 l 个向量，在 V 中取定一个基ε1,ε2,...,εn ， 如果 αj 在此基下的坐标为 [ , , , ] ( 1,2, , ) 1 2 j l T j j n j = 则向量组 α1，α2 ，...,αl 线性相关的充分必 要条件是矩阵 = n n nl l l A 1 2 21 22 2 11 12 1 的秩 rA< l . 线性无关的充要条件是 rA= l. 稍后用到 ➢ 由向量组坐标矩阵的秩 判定其线性相关性
向量的坐标 区定义4.5:设向量组e1,e2,,en是n维 线性空间V的一个基,a是V中任意一个向量, 则有 =x1E1+x2E2+…+xn2En 称数组x,x2…,xn为向量a在基 e1,e2,3,en下的坐标( coordinates), 记为[x,x2,…,xn]T 任意一个向量a在一个确定的基下的坐标 是唯一的
二、向量的坐标 定义 4.5: 设向量组 ε1,ε2,...,εn 是 n 维 线性空间 V 的一个基，α是 V 中任意一个向量， 则有 n n = x + x ++ x 1 1 2 2 称数组 x1 , x2 ,…, xn 为向量 α 在基 ε1,ε2,...,εn下的坐标(coordinates) ， 记为 [x1 , x2 ,…, xn ] T ➢ 任意一个向量 α在一个确定的基下的坐标 是唯一的
区行空间和列空间的概念(补充) 矩阵Am×n可以看作由行向量列向量构成 定义:由A的行向量张成的子空间为A的行空间 ( row space);由A的列向量张成的子空间为A的 列空间( column space A的行空间为如下形式 例设A 010 a,0,0)+B0,1,0=(a,B,0 C A的列空间为 0 A的行列空间的维数为矩阵的秩 A的行空间维数=列空间维数
行空间和列空间的概念(补充) ➢ 矩阵Am×n 可以看作由行向量/列向量构成. 定义: 由A的行向量张成的子空间为A的行空间 (row space)；由A的列向量张成的子空间为A 的 列空间(column space). 例 设 = 0 1 0 1 0 0 A ➢ A 的行空间为如下形式 （1，0，0）+ （0，1，0）=（，，0） ➢ A 的列空间为 = + + 0 0 1 0 0 1 ➢ A 的行/列空间的维数为矩阵的秩. ➢ A 的行空间维数= 列空间维数
区用行/列空间的概念研究线性方程组 R(4mxn)={x|x∈R"≤Rm 系数矩阵A的列空间 >方程组AX=b可以写作 11 12 21 22 +X2:+…+n b m2 定理:(线性方程组相容)AX=b相容的充要条件 是b在A的列空间中,或A的列空间包含b
用行/列空间的概念研究线性方程组 ➢ 方程组 A X = b 可以写作 = + + + m n m n n n m m b b b a a a a a a a a a 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 x1 x x 定理: (线性方程组相容) A X = b 相容的充要条件 是 b 在 A 的列空间中，或A的列空间包含 b . ➢ R(Amn ) = {Ax | x Rn } Rm —— 系数矩阵 A 的 列空间