高维微分学——隐映照定理的应用 (曲线与曲面的隐式表示) 复旦力学谢锡麟 16年3月15日 1知识要素 1.1隐映照定理 定理1.1(隐映照定理),.设有映照∫(x,y) f(x,y):R× R> Dx X Dy3{x,y→f(x,y)∈Rn 满足 f(x,y)∈(D2×D;Rn); 2.(x00)∈D2xD使得{J(,y)=0∈g Dyf(x0,3)∈(Rn;R)可逆 则有 1.彐B(x0)cDx,B1(30)CDy,有Vc∈B(x0),3y∈B(30)满足f(x,v2)=0∈Rn, 由此可作5(x):B(x0)3x(x)∈Rn,满足J∈(x)∈B1(yo) ∫(x,∈(c)=0∈R”; 2.(x)∈1(Bx(xo)Rn) 1.2曲线的隐式表示 现考虑Rm中的约束 fl ∈Rmf(x) (a)=0∈R 基于隐映照定理,针对上述约束,有以下结论
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——隐映照定理的应用 （曲线与曲面的隐式表示） 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 隐映照定理 定理 1.1 (隐映照定理). 设有映照 f(x, y) f(x, y) : R m × R n ⊃ Dx × Dy ∋ {x, y} 7→ f(x, y) ∈ R n 满足: 1. f(x, y) ∈ C 1 (Dx × Dy; R n ); 2. ∃ (x0, y0 ) ∈ Dx × Dy 使得 f(x, y) = 0 ∈ R n , Dyf(x0, y0 ) ∈ L (R n ; R n )可逆, 则有 1. ∃ Bλ(x0) ⊂ Dx, Bµ(y0 ) ⊂ Dy, 有 ∀ x ∈ Bλ(x0), ∃ !yx ∈ Bµ(y0 ) 满足 f(x, yx ) = 0 ∈ R n , 由此可作 ξ(x) : Bλ(x0) ∋ x 7→ ξ(x) ∈ R n , 满足 ξ(x) ∈ Bµ(y0 ), f(x, ξ(x)) = 0 ∈ R n ; 2. ξ(x) ∈ C 1 (Bλ(x0); R n ). 1.2 曲线的隐式表示 现考虑 R m 中的约束 Σ = x ∈ R m f(x) = f 1 . . . f m−1 (x) = 0 ∈ R m−1 , 基于隐映照定理, 针对上述约束, 有以下结论: 1
高维微分学—一隐映照定理的应用(曲线与曲面的隐式表示)谢锡麟 如有r0 ∈∑,其中0∈R,0∈Rm-1,满足 Dif(io, co) d(el (x0,o)∈R(m-1)x( 非奇异,则彐Bx(G0)CR,B1(20)CRm-1满足 Ⅴ∈Bx(0),3!=(班)∈B1(ao),满足约束f(丘,d(2)=0∈Rm-1 P(o) B, (20)×B(ao) (G) [Bx(io)×B(ao)nE 图1:曲线的隐映照刻画 隐映照定理结论的几何刻画,如图1所示,图中B2(o)示意性地画为矩形.局部柱体Bx(io) B(o)cRm中,∑为隐映照的图像 叫()∈B(1)<Rm.现为Rm中的曲线 r():RBx(元0)3立+()= φ() 可确定曲线r()的切向量为 d()会mmr(+△)-r()=Dr()=(p(2) (正,(过)∈Rm (D÷f)-D2f 13曲面的隐式表示 现考虑Rm中的约束 ∑={∈R"|f(m)=0∈R 基于隐映照定理,针对上述约束,有以下结论
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理的应用（曲线与曲面的隐式表示） 谢锡麟 如有 x0 = ( x˜0 xˆ0 ) ∈ Σ, 其中 x˜0 ∈ R, xˆ0 ∈ R m−1 , 满足 Dxˆf(˜x0, xˆ0) = D(f 1 , · · · , fm−1 ) D(ˆx 1, · · · , xˆm−1) (˜x0, xˆ0) = D(f 1 , · · · , fm−1 ) D(x 2, · · · , xm) (˜x0, xˆ0) ∈ R (m−1)×(m−1) 非奇异, 则 ∃ Bλ(˜x0) ⊂ R, Bµ(xˆ0) ⊂ R m−1 满足 ∀ x˜ ∈ Bλ(˜x0), ∃ ! xˆ = ϕ(˜x) ∈ Bµ(xˆ0), 满足约束 f(˜x, ϕ(˜x)) = 0 ∈ R m−1 . X1 X2 X3 , · · · , Xm O Bλ(˜x0) ( x˜ ϕ(˜x) ) ( x˜0 ϕ(˜x0) ) Bλ(˜x0) × Bµ(xˆ0) [Bλ(˜x0) × Bµ(xˆ0)] ∩ Σ x˜ x˜0 图 1: 曲线的隐映照刻画 隐映照定理结论的几何刻画, 如图1所示, 图中 Bµ(ˆx0) 示意性地画为矩形. 局部柱体 Bλ(˜x0)× Bµ(xˆ0) ⊂ R m 中, Σ 为隐映照的图像 {( x˜ ϕ(˜x) ) ∀ x˜ ∈ Bλ(˜x0) } ⊂ R m. 现为 R m 中的曲线 Γ(˜x) : R ⊃ Bλ(˜x0) ∋ x˜ 7→ Γ(˜x) = ( x˜ ϕ(˜x) ) ⊂ R m. 可确定曲线 Γ(˜x) 的切向量为 d dx Γ(˜x) , lim ∆˜x→0 Γ(˜x + ∆˜x) − Γ(˜x) ∆˜x = DΓ(˜x) = ( 1 Dϕ(˜x) ) = ( 1 − (Dxˆf) −1 Dx˜f ) (˜x, ϕ(˜x)) ∈ R m. 1.3 曲面的隐式表示 现考虑 R m 中的约束 Σ = {x ∈ R m|f(x) = 0 ∈ R} , 基于隐映照定理, 针对上述约束, 有以下结论: 2
高维微分学—隐映照定理的应用(曲线与曲面的隐式表 谢锡麟 如有x0 ∈∑,其中i∈Rm-1,o∈R,满足 Dif(ao, io)g of (0,0)≠0∈R, 则彐Bx(0)cRm-1,B1(o)cR,满足 ∈Bx(x0),!=叭()B1(o),满足约束f(,o()=0∈R Bx(0)×B(o) [BA(x0)×B1(io)n∑ 图2:曲面的隐映照刻画 隐映照定理结论的几何刻画,如图2所示局部柱体B(20)×B4(xo)CRm中,∑为隐映照 的图像1(c2儿V∈B(n)cRm,现为Rm中的曲面 ∑(2):Rm-12Bx(0)3→∑()= CR (正) 可确定 D∑()= ∈Rmx(m-1) Do() 藉此就确定了切空间 T∑span{g1,…,9nm-1}()cRmn
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理的应用（曲线与曲面的隐式表示） 谢锡麟 如有 x0 = ( x˜0 xˆ0 ) ∈ Σ, 其中 x˜0 ∈ R m−1 , xˆ0 ∈ R, 满足 Dxˆf(x˜0, xˆ0) , ∂f ∂xˆ (x˜0, xˆ0) = ∂f ∂xm (x˜0, xˆ0) ̸= 0 ∈ R, 则 ∃ Bλ(x˜0) ⊂ R m−1 , Bµ(ˆx0) ⊂ R, 满足 ∀ x˜ ∈ Bλ(x˜0), ∃ ! ˆx = ϕ(x˜)Bµ(ˆx0), 满足约束f(x˜, ϕ(x˜)) = 0 ∈ R. X1 Xm−1 Xm O ( x˜0 ϕ(x˜0) ) ( x˜ ϕ(x˜) ) x˜ x˜0 Bλ(x˜0) Bλ(x˜0) × Bµ(ˆx0) [Bλ(x˜0) × Bµ(ˆx0)] ∩ Σ 图 2: 曲面的隐映照刻画 隐映照定理结论的几何刻画, 如图2所示. 局部柱体 Bλ(x˜0) × Bµ(ˆx0) ⊂ R m 中, Σ 为隐映照 的图像 {( x˜ ϕ(x˜) ) ∀ x˜ ∈ Bλ(x˜0) } ⊂ R m. 现为 R m 中的曲面 Σ(x˜) : R m−1 ⊃ Bλ(x˜0) ∋ x˜ 7→ Σ(x˜) = ( x˜ ϕ(x˜) ) ⊂ R m. 可确定 DΣ(x˜) = ( Im−1 Dϕ(x˜) ) := ( g1 · · · gm−1 ) (x˜) ∈ R m×(m−1) , 藉此就确定了切空间 TxΣ , span { g1 , · · · , gm−1 } (x˜) ⊂ R m, 3
高维微分学—隐映照定理的应用(曲线与曲面的隐式表 谢锡麟 相应地,也可以确定法向量m(x)∈Rm,满足 ∫⑦xr(m1(xn-1(1)10c2m 应用事例 2.1曲线的隐式表示 事例1(R3中曲线(隐式表示形式)).R3中的曲线可以表示为 f(x,y,z)=0∈R ∈R g(x,y,z)=0∈R 设有m∈r,亦即{f(0)=0 9(0,0,0)=0·且有(f,g) O(x,2)(20,30)≠0,则可构造 F f(c, y, z) g(, y, z) 满足 f(xo,30,0) 0∈ g(ao af af DIrt dz oag(a0,,x)∈R2x2非奇异 则有3B(c2(2)<2,对∈BD=0()满足 Fy,2(y) f(a(y), 3, a(y)) =0∈R2 g(a(y), 3, i(y)) 亦即有 ∈,所以曲线可以用向量值映照表示为 T(: B(yo)3yHry 述分析的几何化可以表示为
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理的应用（曲线与曲面的隐式表示） 谢锡麟 相应地, 也可以确定法向量 n(x) ∈ R m, 满足 (DΣ) T(x˜)n(x) = ( Im−1 (Dϕ) T(x˜) ) n(x) = 0 ∈ R m−1 , |n(x)|Rm = 1. 2 应用事例 2.1 曲线的隐式表示 事例 1 (R 3 中曲线（隐式表示形式）). R 3 中的曲线可以表示为 Γ = x y z ∈ R 3 { f(x, y, z) = 0 ∈ R g(x, y, z) = 0 ∈ R 设有 x0 y0 z0 ∈ Γ，亦即 { f(x0, y0, z0) = 0 g(x0, y0, z0) = 0 ，且有 ∂(f, g) ∂(x, z) (x0, y0, z0) ̸= 0，则可构造 F ( y, [ x z ]) = [ f(x, y, z) g(x, y, z) ] ∈ R 2 满足 F ( y0, [ x0 z0 ]) = f(x0, y0, z0) g(x0, y0, z0) = 0 ∈ R 2 D[ x z ] F ( y0, [ x0 z0 ]) = ∂f ∂x ∂f ∂z ∂g ∂x ∂g ∂z (x0, y0, z0) ∈ R 2×2 非奇异 则有 ∃ Bλ(y0) ⊂ R, ∃ Bµ ([x0 z0 ]) ⊂ R 2，对 ∀y ∈ Bλ(y0), ∃ ξ(y) = [ x(y) z(y) ] ∈ Bµ ([x0 z0 ]) 满足 F ( y, [ x(y) z(y) ]) = [ f(x(y), y, z(y)) g(x(y), y, z(y)) ] = 0 ∈ R 2 亦即有 x(y) y z(y) ∈ Γ，所以曲线可以用向量值映照表示为 Γ(y) : Bλ(y0) ∋ y 7→ Γ(y) = x(y) y z(y) ∈ R 3 上述分析的几何化可以表示为 4
高维微分学—一隐映照定理的应用(曲线与曲面的隐式表示)谢锡麟 曲线P的切向量为 (y)= Dr(y) ∈R a'(y) 另有 a())=0∈R2,vy∈B(o) 则有 r(y)1「x(y) 即有 af af af 0(a(,9(0)+a2(x),,x() 所以 a(y) (x00)0(0 a(, g) O(x,2(a(0)y(0)0:9)(a(0,y2() 由此可得切向量的表示 D(v2(a(,y(0) a(, g) a(, g) O(x,2) (y,z) a(, g) du(y) a I(a(y), y, a(y)), Vy E BA(yo) a(, g) a(, g) 0(,9)(z(),,2(y) a( y ( 据此,可确定过点0∈r点的切线可以表示为 2( a(, g) a(y, z) L(入):R3入 +入 a(, g) a(z, r) (x(y),y,x(y)∈R a(, 9) a(, y)
微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理的应用（曲线与曲面的隐式表示） 谢锡麟 曲线 Γ 的切向量为 dΓ dy (y) = DΓ(y) = x ′ (y) 1 z ′ (y) ∈ R 3 另有 F ( y, [ x(y) z(y) ]) = 0 ∈ R 2 , ∀y ∈ Bλ(y0) 则有 DyF ( y, [ x(y) z(y) ]) + D[ x z ] F ( y, [ x(y) z(y) ]) [x ′ (y) z ′(y) ] = 0 ∈ R 2 即有 ∂f ∂y ∂g ∂y (x(y), y, z(y)) + ∂f ∂x ∂f ∂z ∂g ∂x ∂g ∂z (x(y), y, z(y)) [ x ′ (y) z ′ (y) ] = 0 所以 [ x ′ (y) z ′ (y) ] = − ∂f ∂x ∂f ∂z ∂g ∂x ∂g ∂z −1 (x(y), y, z(y)) ∂f ∂y ∂g ∂y (x(y), y, z(y)) = − 1 ∂(f, g) ∂(x, z) (x(y), y, z(y)) ∂(f, g) ∂(y, z) ∂(f, g) ∂(x, y) (x(y), y, z(y)) 由此可得切向量的表示 dΓ dy (y) = − ∂(f, g) ∂(y, z) ∂(f, g) ∂(x, z) (x(y), y, z(y)) 1 − ∂(f, g) ∂(x, y) ∂(f, g) ∂(x, z) (x(y), y, z(y)) ∥ ∂(f, g) ∂(y, z) ∂(f, g) ∂(z, x) ∂(f, g) ∂(x, y) (x(y), y, z(y)), ∀y ∈ Bλ(y0) 据此，可确定过点 x(y0) y0 z(y0) ∈ Γ 点的切线可以表示为 L(λ) : R ∋ λ 7→ x(y) y z(y) + λ ∂(f, g) ∂(y, z) ∂(f, g) ∂(z, x) ∂(f, g) ∂(x, y) (x(y), y, z(y)) ∈ R 3 5