第七章线性变换S6线性变换的值域与核S1线性变换的定义S2线性变换的运算S7不变子空间S3线性变换的矩阵S8若当标准形简介S4特征值与特征向量s9最小多项式S5对角矩阵小结与习题
§2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 §7不变子空间 小结与习题 第七章 线性变换 §5 对角矩阵
S 7.7线性变换的定义一、不变子空间的概念二线性变换在不变子空间上的限制三、不变子空间与线性变换的矩阵化简四、线性空间的直和分解67.7不变子空间A
§7.7 不变子空间 一、不变子空间的概念 二、线性变换在不变子空间上的限制 §7.7 线性变换的定义 三、不变子空间与线性变换的矩阵化简 四、线性空间的直和分解
一、不变子空间1、定义设o是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的的子空间，若VεW,有o()W(即o(W)W)则称W是的不变子空间，个简称为α一子空间注：V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一个变换来说，都是一子空间。7.7不变子空间A
§7.7 不变子空间 设 是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的 的子空间，若 W , 有 ( ) ( ) W W W (即 ) 则称W是 的不变子空间，简称为 －子空间. V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一 个变换 来说，都是 －子空间. 一、不变子空间 1、定义 注：
2、不变子空间的简单性质1）两个α一子空间的交与和仍是α一子空间2）设 W=L(αj,α2,α,)，则W是一子空间αo(α,),o(α,),..,o(α,)e W.证："→"显然成立。""任取5eW,设5= kjαi +k,α, +..+k,αs,则() = k,o(α)+k,o(α2)+...+k,o(α,).由于 o(α,),o(α,),.",o(α,)eW, :. ()eW.故W为α的不变子空间.87.7不变子空间Λ
§7.7 不变子空间 1）两个 －子空间的交与和仍是 －子空间. 2）设 W L = ( , , ), 1 2 s 则W是 －子空间 1 2 ( ), ( ), , ( ) . s W 证： " " 显然成立. " " 任取 W , 设 1 1 2 2 , s s = + + + k k k 则 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). s s = + + + k k k 故W为 的不变子空间. 2、不变子空间的简单性质 由于 1 2 ( ), ( ), , ( ) , s W ( ) . W
3、一些重要不变子空间1）线性变换α的值域 α(V)与核α-(0)都是的不变子空间.证: : o(V)={o(α)]αeV)=V,.:. Vsea(V), 有o(5)eo(V).故 α(V)为α的不变子空间.又任取-(0), 有()=0-(0)：α-1(0)也为的不变子空间.67.7不变子空间区区
§7.7 不变子空间 1）线性变换 的值域 ( ) V 与核 ( ) 都是 的 1 0 − 不变子空间. 证： ( ) ( ) , V V V = (V V ), ( ) ( ). 有 故 ( ) V 为 的不变子空间. 又任取 ( ) 有 1 0 , − 1 ( ) 0 (0). − = 3、一些重要不变子空间 1 (0) − 也为 的不变子空间