显然有，V+V,=V,+V,(V +V2)+V3 = V+(V2 +V3)2、推广多个子空间的和V,V2,,V,为线性空间V的子空间，则集合Zv,=V+,+..+v.{α, +α, +..+α, la, eV,i=1,2,3,..,s也为V的子空间，称为V,V2,,V，的和空间。86.6子空间的交与和区区
§6.6 子空间的交与和 显然有, 2、推广 多个子空间的和 = + + + = 1 2 s i i | , 1,2,3, , V i s 1 2 2 1 V V V V + = + , V V V 1 2 ,,, s 为线性空间V的子空间，则集合 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) V V V V V V + + = + + 也为V的子空间，称为 V V V 1 2 ,,, s 的和空间. 1 2 1 s i s i V V V V = = + + +
注意：V的两子空间的并集未必为V的子空间．例如V=((a,0,0)] ae R), V, =(0,b,0)/ be R)皆为R3的子空间，但是它们的并集V UV, = (a,0, 0),(0,b,0)a,b e R)=(a,b,0)la,be R且a,b中至少有一是0)并不是R3的子空间．因为它对R3的运算不封闭，如(1,0,0), (0,1,0)e V UV2但是 (1,0,0) +(0,1,0) =(1,1,0) V UV2$6.6子空间的交与和区区
§6.6 子空间的交与和 V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 注意： 1 2 V a a R V b b R = = {( ,0,0) }, {(0, ,0) } 皆为R3的子空间，但是它们的并集 1 2 V V a b a b R = {( ,0,0),(0, ,0) , } 并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 1 2 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) + = V V 1 2 (1,0,0), (0,1,0)V V 但是 = {( , ,0) , , } a b a b R a b 且 中至少有一是0
三、子空间的交与和的有关性质1、设V,V,W为线性空间V的子空间1) 若 w≤V,WcV, 则W=VnV22) 若 V≤W,V,=W, 则V+V,cW.2、设V,V,为线性空间V的子空间，则以下三条件等价：1) ViV,2) VnV,=V3) V +V, = V2$6.6子空间的交与和V
§6.6 子空间的交与和 三、子空间的交与和的有关性质 1 2 1 2) V V V= 1 2 2 3) V V V + = 1 2 1) V V 2、设 V V1 2 , 为线性空间V的子空间，则以下三 1、设 V V W 1 2 , , 为线性空间V的子空间 1）若 W V W V 1 2 , , 则 1 2 W V V . 2）若 则 1 2 V V W + . 1 2 V W V W , , 条件等价:
3、α1,α2,,α,;βi,β2,",β,为线性空间V中两组向量，则L(αi,α2,"",α,)+ L(βr,β2..", β,)= L(α,α.,.*,α,,βr,β,..., β,)4、维数公式（定理7）设V,V,为线性空间V的两个子空间，则dim V + dimV, = dim(V +V2)+ dim(VnV2)或 dim(V +V2)= dimV + dimV, - dim(VNV2)$6.6子空间的交与和区区
§6.6 子空间的交与和1 2 1 2, ( , , , ) ( , , ) L L s t + 1 2 1 2, ( , , , , , , ) = L s t 3、 1 2 1 2, , , , ; , , s t 为线性空间V中两组 向量，则 4、维数公式（定理7） 设 V V1 2 , 为线性空间V的两个子空间，则 dim dim dim( ) dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 + = + + 或 dim( ) dim dim dim( ) V V V V V V 1 2 1 2 1 2 + = + −