第七章线性变换s6线性变换的值域与核S1线性变换的定义S2线性变换的运算S7不变子空间S3线性变换的矩阵S8若当标准形简介S4特征值与特征向量S9最小多项式85对角矩阵小结与习题
§2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 §7不变子空间 小结与习题 第七章 线性变换 §5 对角矩阵
s 7.3线性变换的矩阵线性变换与基线性变换与矩阵二三、相似矩阵7.3线性变换的矩阵A
§7.3 线性变换的矩阵 一、线性变换与基 二、线性变换与矩阵 §7.3 线性变换的矩阵 三、相似矩阵
线性变换与基1.设8,82，,8n是线性空间V的一组基，α为V的线性变换.则对任意V存在唯一的一组数X,X2,,x, e P, 使 5=Xje+Xe, +.+x,en从而, 0(5)= x,o(s)+x,0(8,) +... + x,o(8n)由此知，()由α(1),0(82),,α(8n)完全确定所以要求V中任一向量在α下的象，只需求出V的组基在。下的象即可。67.3线性变换的矩阵AP
§7.3 线性变换的矩阵 一、 线性变换与基 的线性变换. 则对任意 V 存在唯一的一组数 1．设 1 2 , , , n 是线性空间V的一组基， 为V x x x P 1 2 , , , , n 使 1 1 2 2 n n = + + + x x x 从而， 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). n n = + + + x x x 由此知， ( ) 由 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 完全确定. 一组基在 下的象即可. 所以要求V中任一向量在 下的象，只需求出V的
2．设&,62,,8,是线性空间V的一组基，，T为V的线性变换，若 (s)=t(c,)，i=1,2,,n.则 =t.证: 对V5eV, 5=Xe+xe+..+x,eno(5)=x,o(8)+ x,0(c2)+...+x,o(cn)t(5)=xit(sl)+x,t(c2)+...+xnt(en)由已知，即得 ()=()。 ： =t.由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定7.3线性变换的矩阵A
§7.3 线性变换的矩阵 2．设 1 2 , , , n 是线性空间V的一组基， , 为 V的线性变换，若 ( ) ( ), 1,2, , . i i = =i n 则 = . ( )＝x x x 1 1 2 2 ( ) + + + ( ) n n ( ) ( )＝x x x 1 1 2 2 ( ) + + + ( ) n n ( ) 由已知，即得 ( )＝ ( ). = . 由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定. 证：对 1 1 2 2 , V x x xn n = + + +
3．设81,62，,8n是线性空间V的一组基，对V中任意n个向量α，α2，,αn，都存在线性变换使o(8,)=α, i=1,2,...,n证：V5eV,设=Xe+X2+..+xen定义 :V→V, o(s)=xα +x,α, +..+x,αn易知为V的一个变换，下证它是线性的，任取 β, eV,设 β-bei, =c,6i=1i187.3线性变换的矩阵
§7.3 线性变换的矩阵 ( ) , 1,2, , i i = =i n 证： 1 1 2 2 , V x x xn n = + + + 设 定义 : , V V → ( ) 1 1 2 2 n n ＝x x x + + + ， 1 2 , , , , 任意n个向量 n 都存在线性变换 使 3．设 1 2 , , , n 是线性空间V的一组基，对V中 易知 为V的一个变换，下证它是线性的. 1 1 , n n i i i i i i V b c = = 任取 ， = , = 设