第七章线性变换S6线性变换的值域与核S1线性变换的定义S2线性变换的运算S7不变子空间s3线性变换的矩阵S8若当标准形简介S4特征值与特征向量89最小多项式s5对角矩阵小结与习题
§2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 §7不变子空间 小结与习题 第七章 线性变换 §5 对角矩阵
$ 7.5对角矩阵一、可对角化的概念二、可对角化的条件三、对角化的一般方法87.5对角矩阵
§7.5 对角矩阵 一、可对角化的概念 二、可对角化的条件 §7.5 对角矩阵 三、对角化的一般方法
，可对角化的概念定义1：设α是n维线性空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换可对角化定义2：矩阵A是数域P上的一个n级方阵.如果存在一个P上的n级可逆矩阵X，使X-IAX为对角矩阵，则称矩阵A可对角化87.5对角矩阵K
§7.5 对角矩阵 定义1：设 是 n 维线性空间V的一个线性变换， 如果存在V的一个基，使 在这组基下的矩阵为对 角矩阵，则称线性变换 可对角化. 矩阵，则称矩阵A可对角化. 定义2：矩阵A是数域 P 上的一个 n 级方阵. 如果 存在一个 P 上的 级可逆矩阵 ，使 为对角 1 X AX − n X 一、可对角化的概念
二、可对角化的条件1.（定理7)设α为n维线性空间V的一个线性变换则可对角化台有n个线性无关的特征向量证：设在基61,826n下的矩阵为对角矩阵22A则有08,=2,8,,i=1,2,.….n..81,82，8就是的n个线性无关的特征向量，87.5对角矩阵
§7.5 对角矩阵 1. (定理7)设 为 n 维线性空间V的一个线性变换， 则 可对角化 有 n 个线性无关的特征向量. 证：设 在基 1 2 , , n 下的矩阵为对角矩阵 1 2 n 则有 , 1,2, . i i i = =i n 二、可对角化的条件 1 2 , , n 就是 的n个线性无关的特征向量
反之，若有n个线性无关的特征向量,n2,nn那么就取n,n2，,nn为基，则在这组基下α的矩阵是对角矩阵2.（定理8)设α为n维线性空间V的一个线性变换，如果,52,…5分别是的属于互不相同的特征值,22,…k的特征向量，则1,52,5线性无关证：对k作数学归纳法，当k=1时，：±0，：5i线性无关.命题成立.87.5对角矩阵区区
§7.5 对角矩阵 反之，若 有 n 个线性无关的特征向量 1 2 , , , , n 那么就取 1 2 , , , n 为基，则在这组基下 的矩阵 是对角矩阵. 2. (定理8)设 为n维线性空间V的一个线性变换, 如果 1 2 , , k 分别是 的属于互不相同的特征值 1 2 的特征向量，则 线性无关. , , k 1 2 , , k 证：对k作数学归纳法. 当 k = 1 时， 1 1 线性无关. 命题成立. 0