第八章 第三节三重积分(Triple Integrals) 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三、小结与思考练习 2009年7月25日星期六 1 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 1 目录 上页 下页 返回 第三节 三重积分 第八章 (Triple Integrals) 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三、小结与思考练习
一、三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域2内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为(x,y,)∈C,求分布在2内的物质的 质量M. 解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 可得 M=lim∑μ(5k,7&,5k)Avg △VK →0 k=1 (5k,刀，56) 2009年7月25日星期六 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 2 目录 上页 下页 返回 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k μ ξ η ζ ),( Δ v Ω ),(ξ η ζ kkk k Δ v 引例 : 设在空间有限闭区域 Ω 内分布着某种不均匀的 物质, μ x y z ∈ C,),( 求分布在 Ω 内的物质的 可得 ∑ = n k 1 0 lim λ→ M = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法 : 质量 M . 密度函数为
定义设f(x,y,),(x,y,z)∈2，若对2作任意分割： △yk(k=1,2,.,n),任意取点(5k,k,5k)∈△yk,下列“乘 积和式”极限 工f5,%,54)A,2作fcx,y=d如 2→0k=1 存在，则称此极限为函数∫(x,y,)在2上的三重积分 dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似例如 中值定理.设f(x,y,z)在有界闭域2上连续，V为2的 体积，则存在(5,7,5)∈2，使得 f(x.y.2)dv=f(.n.c)v 2009年7月25日星期六 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 3 目录 上页 下页 返回 f x y z x y z ∈ Ω,),(,),( kkk n k k ∑ f Δ v → = ),(lim 1 0 ζηξ λ 存在, f x y z),( ∫∫∫Ω d),( vzyxf d v称为体积元素 , dx dy dz. 若对 Ω 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在 Ω上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 n),2,1( 性质: 三重积分的性质与二重积分相似.例如 v k Δ k = " ,),( k k k k ξ η ζ ∈ Δ v 下列 “ 乘 中值定理 . 设 f x y z),( 在有界闭域 Ω 上连续, 则存在 ξ η ζ ∈ Ω,),( 使得 ∫∫∫Ω d),( vzyxf = f ξ η ζ ),( V V 为 Ω 的 体积, 积和式 ” 极限 记作 定义 设
二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数∫(x,y,z)≥0，并将它看作某物体 的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法： 方法1.投影法(“先一后二) 方法2.截面法（“先二后一) 方法3.三次积分法 最后，推广到一般可积函数的积分计算 2009年7月25日星期六 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 4 目录 上页 下页 返回 二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 f yx z ≥ ,0),( 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:
方法1.投影法(“先一后二”) 2=22(x,y) 秀列 细长柱体微元的质量为 .-)dy 2=21(xy) 该物体的质量为 f(w.y.=)dv dxdy )ndy 微元线密度≈ 作川dd-d f(x,y,z)dxdy 2009年7月25日星期六 5 目录 (上页下页 返回
2009年7月25日星期六 5 目录 上页 下页 返回 z x y D ∫∫ = D dd yx ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ≤ ≤ Ω Dyx z yx z z yx ),( ),(),( : 1 2 yxzzyxf yxz yxz ddd),( ),( ),( 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ 该物体的质量为 ∫∫∫Ω d),( vzyxf ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ ),( ),( 2 1 d),( yxz yxz zzyxf ∫∫ ∫ D yxz yxz zzyxfyx ),( ),( 2 1 dd d),( f x y z xdd),( y ),( 2 y 细长柱体微元的质量为 z = z x ),( 1 z = z x y d x d y 微元线密度≈ 记作 方法1. 投影法 ( “先一后二 ” )