第七章 第，、节多元品数的极值及其求法 (Absolute maximum and minimum values) 一、多元函数的极值 二、条件极值拉格朗日乘数法 三、小结与思考练习 2009年7月6日星期一 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第八节 多元函数的极值及其求法 第七章 (Absolute maximum and minimum values) 一、多元函数的极值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 三、小结与思考练习
一、多元函数的极值及最大值、最小值 定义若函数z=f(x,y)在，点(x0,yo)的某邻域内有 f(x,y)≤f(xo,yo)(或f(x,y)≥f(xo,yo) 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值； z=-Vx2+y2在点(0,0)有极大值； z=xy在，点(0,0)无极值 2009年7月6日星期一 2 目录○ 上页) 下页 、返回
2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 返回 x y z 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义 若函数 则称函数在该点取得极大值 (极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极大值; 使函数取得极值的点称为极值点. 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, ),(),( 00 f x y ≤ f x y )),(),(( 00 或 ≥ yxfyxf 22 += 43 yxz 2 2 z =− + x y z = x y ),(),( 00 = 在点 yxyxfz 的某邻域内有 x y z x y z
定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(o,yo)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x0,y0)=0,f(x0,y0)=0 证：因z=f(x,y)在点(xo,yo)取得极值，故 z=f(x,o)在x=x取得极值 2=∫(xo,y)在y=0取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立， 说明：使偏导数都为0的点称为驻，点 但驻，点不一定是极值点： 例如，z=xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值 2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 返回 说明 : 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如 , 函数 偏导数, 证 : 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 0),(,0),( f x ′ x y00 = f y ′ x y00 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 ),(),( 00 = 在点 yxyxfz 存在 ),(),( 00 因 = 在点 yxyxfz = yxfz 0 ),( 在 0 x = x 故 = 0 yxfz ),( 在 0 y = y z = yx 定理1 (必要条件 )
定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,y0)=0,f(x0,0)=0 4A=fxx(xo,Yo),B=fxy(xo,Yo),C=fyy(xo,Yo) 「A<0时取极大值； 则：1)当AC-B2>0时，具有极值 A>0时取极小值 2)当AC-B2<0时，没有极值 3)当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论. 这个定理不加证明， 2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 返回 则: 1) 当 时, 具有极值 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 A<0 时取极大值; A>0 时取极小值. 2) 当 时, 没有极值. 3) 当 时, 不能确定 , 需另行讨论. 这个定理不加证明. 若函数 = 在点 yxyxfz 00 ),(),( 的 0),(,0),( f x x y00 = f y x y00 = ),(,),(,),( 00 00 00 A f x y B f x Cy f x y = xx = yx = yy 0 2 A C B >− 0 2 A C − B < 0 2 A C − B = 定理2 (充分条件 )
求函数？=f(x,y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组f(x,y)=0,∫，(x,y)=0 求出实数解，得驻点 第二步 对于每一个驻点(X,y0), 求出二阶偏导数的值A、B、C 第三步定出AC-B的符号，再判定是否是极值 2009年7月6日星期一 5 目录 上页今 下页 、返回
2009年7月6日星期一 5 目录 上页 下页 返回 求函数 z = xf y),( 极值的一般步骤： 第一步 解方程组 yxf = ,0),( x yxf = 0),( y 求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点 ),( 00 x y ， 求出二阶偏导数的值 A 、 B 、 C. 第三步 定出 2 AC − B 的符号，再判定是否是极值