方法2.截面法(“先二后一”) 3 以D,为底，dz为高的柱形薄片质量为 (j∬nfx,y,a)dxdy)dz 该物体的质量为 面密度≈ f(x.y.=)dv f(x,y,z)dz =∫∬.f.y.)dxd)d 记作0d川n,fxy=dxdy 2009年7月25日星期六 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 6 目录 上页 下页 返回 a b ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ ∈ Ω bza yx D z ),( : 以 D z为底, d z 为高的柱形薄片质量为 x y z 该物体的质量为 ∫∫∫Ω d),( vzyxf ( ∫ = b a ∫ ∫D Z dd),( yxzyxf ∫∫∫ D Z b a dd),(d yxzyxfz d z z D z ( ) ∫∫D z dd),( yxzyxf f yx z d),( z 面密度≈ ) d z 记作 Ω 方法2. 截面法 ( “先二后一 ” )
方法3.三次积分法 21(x,y)≤z≤22(x,y) 设2政icn 利用投影法结果，把二重积分化成二次积分即得： f(.y.=)dv xdy 投影法 .dvd 2009年7月25日星期六 7 目录 上页今 下页 、返回
2009年7月25日星期六 7 目录 上页 下页 返回 投影法 设区域 Ω : ⎩ ⎨ 利用投影法结果 , ⎧ ≤≤ ≤ ≤ ∈ bxa y x yy x Dyx )()( :),( 1 2 ),(),( 1 2 z x y ≤ z ≤ z x y 把二重积分化成二次积分即得: ∫∫∫Ω d),( vzyxf ∫∫∫ = ),( ),( 2 1 dd d),( yxz yxzD zzyxfyx ∫∫∫Ω d),( vzyxf ∫ = b a d x ∫ ),( ),( 2 1 d),( yxz yxz zzyxf ∫ )( )( 2 1 d xy xy y 方法3. 三次积分法
当被积函数在积分域上变号时，因为 f(x,y,=) f(x,y,2)+f(x,y,)f(x,y,2)-f(x,y,z) 2 2 =f(xy,2）-f2(x,y,2) 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算 2009年7月25日星期六 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 8 目录 上页 下页 返回 当被积函数在积分域上变号时, 因为 f x y z),( 2 f yx z − f yx z),(),( − ),( 1 = f x y z ),( 2 − f x y z 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算. 2 f yx z + f yx z),(),( =
小结：三重积分的计算方法 方法1.“先一后二” .d-d 方法2.“先二后一” ,)dv=d可，fx,yixd 方法3.“三次积分” dv-dy 三种方法（包含12种形式）各有特点，具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择 2009年7月25日星期六 9 目录 上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 9 目录 上页 下页 返回 方法1. “先一后二 ” 方法2. “先二后一 ” 方法3. “三次积分 ” ∫∫∫ = ),( ),( 2 1 dd d),( z x y yxzD zzyxfyx ∫∫∫Ω d),( vzyxf ∫∫∫ = D Z b a dd),(d yxzyxfz ∫∫∫ = ),( ),( )( )( 2 1 2 1 dd d),( yxz yxz xy xy b a zzyxfyx 具体计算时应根据 ∫∫∫Ω d),( vzyxf ∫∫∫Ω d),( vzyxf 三种方法 (包含12种形式 )各有特点, 被积函数及积分域的特点灵活选择. 小结: 三重积分的计算方法