第九章曲孩积分与曲面积 Integral over curve and Integral over surface 主要内容 第一节对孤长的曲线积分 第二节对坐标的曲线积分 第三节格林公式及其应用 第四节对面积的曲面积分 第五节对坐标的曲面积分 第六节高斯公式斯托克斯公式 2009年7月26日星期日 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 2 目录 上页 下页 返回 第九章 曲线积分与曲面积分 （Integral over curve and Integral over surface ） 第一节 对弧长的曲线积分 第二节 对坐标的曲线积分 第三节 格林公式及其应用 第四节 对面积的曲面积分 第五节 对坐标的曲面积分 第六节 高斯公式 斯托克斯公式 主要内容
第九章 第一节孤长的曲我积 Integral over curve for arc length 一、对孤长的曲线积分的概念与性质 二、对孤长曲线积分的计算法 三、小结与思考练习 2009年7月26日星期日 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月26日星期日 3 目录 上页 下页 返回 第一节 弧长的曲线积分 第九章 （Integral over curve for arc length ） 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长曲线积分的计算法 三、小结与思考练习
一、对孤长的曲线积分的概念与性质 (Conception of integral over curve for arc length) 1.曲线形构件质量的计算' B M- 匀质之质量M=p·S. (5,n M M2 分割M1,M2,.,M-1→△S A M X 取(5,7，)∈△S,△M:≈p(5,n)△s 求和M≈∑p(5,7)A 近似值 取极限 M=2p5,n)小-A 精确值 2009年7月26日星期日 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 4 目录 上页 下页 返回 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1. 曲线形构件质量的计算 o x y A B Mn − 1 Mi Mi− 1 M2 M1 ),(ξ i ηi L 匀质之质量 M = ρ ⋅ s . 分割 , , 21 n 1 i M M M → Δ s " − (, ) , ii i 取 ξ η ∈ Δ s .),( i i i i ΔM ≈ ρ ξ η Δ⋅ s 求和 .),( 1 ∑= ≈ Δ⋅ n i iii M ηξρ s .),(lim 1 取极限 0 ∑= → = Δ⋅ n i iii M ηξρ s λ 近似值 精确值 (Conception of integral over curve for arc length)
2.对孤长的曲线积分的概念 定义设L为xOy面内的一条光滑曲线孤，∫(x,y) 在L上有界.用一点列M,(i=1,2,.,n-1)将L 分成n个小孤段，设第i个小弧段M-M,的长度为△s, (i=1,2,3,n).在M,-M,上任取一点(5，n,),并作和， ∑f(5,)△s,如果当各小弧段的长度的最大值 →0时，这和的极限1im∑f(怎，n,)八总存在，那么 →0 i=1 那么称此极限值为f(x,y)在L上对孤长的曲线积分（或 第一类曲线积分)，记为」，f(x,y)ds,即 2009年7月26日星期日 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 5 目录 上页 下页 返回 2. 对弧长的曲线积分的概念 定义 设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧，f xy (, ) 在 L 上有界．用一点列 Mi （ i = 1, 2, , 1 " n − ）将 L 分成 n 个小弧段，设第 i 个小弧段 M q i i −1M 的长度为 i Δs (i n = 1, 2,3., ) ．在 M q i i −1M 上任取一点(, ) i i ξ η ,并作和, 1 (, ) n ii i i f s = ∑ ξ η Δ ，如果当各小弧段的长度的最大值 λ → 0 时, 这和的极限 0 1 lim ( , ) n ii i i f s → = ∑ Δ λ ξ η 总存在, 那么称此极限值为 f (, ) x y 在 L 上对弧长的曲线积分（或 第一类曲线积分 ）, 那么 记为 ( , )d L f xy s ∫ ,即
∫x,s=m∑f5,n,As 0i21 其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分孤段. 如果L是闭曲线，那么该曲线积分就记为∮，f(x,y)s 若L为空间光滑曲线孤，f(x,y,z)为定义在L上 的有界函数，则可类似地定义f(x,y,)在空间曲线 L上的对孤长的曲线积分 ∫，飞=m∑f5,A 如果L是闭曲线，那么该曲线积分就记为∮，f(xy,) 2009年7月26日星期日 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 6 目录 上页 下页 返回 ( , )d L f xy s ∫ 0 1 lim ( , ) n ii i i f s → = = ∑ Δ λ ξ η 其中 f (, ) x y 叫做被积函数， L 叫做积分弧段． 如果 L 是闭曲线，那么该曲线积分就记为 ( , )d L f x y s v∫ . 若 L 为空间光滑曲线弧， f (, ,) xyz 为定义在 L 上 的有界函数，则可类似地定义 f (, ,) xyz 在空间曲 线 L 上的对弧长的曲线积分 ( , , )d L f x y z s ∫ 0 1 lim ( , , ) n iii i i f s → = = ∑ Δ λ ξηζ . 如果 L 是闭曲线，那么该曲线积分就记为 ( , , )d L f x y z s v∫