第七章 第五节隐函数的求导公式 (Derivation of Implicit Function) 一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、小结与思考练习 2009年7月6日星期一 1 目录○ 上页) 下页 、返回
2009年7月6日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第五节 隐函数的求导公式 第七章 (Derivation of Implicit Function) 一、一个方程的情形 二、方程组的情形 三、小结与思考练习
本节讨论： 1)方程在什么条件下才能确定隐函数· 例如方程x2+√少+C=0 当C<0时，能确定隐函数； 当C>0时，不能确定隐函数； 2)在方程能确定隐函数时，研究其连续性、可微性 及求导方法问题. 2009年7月6日星期一 2 目录 (上页今下页 、返回
2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 返回 本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 0 2 Cyx =++ 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时 , 研究其连续性、可微性 及求导方法问题
一、一个方程的情形 定理1 设函数F(x,y)在点P(xo,yO)的某一邻域内满足 ①具有连续的偏导数； ②F(x0,y0)=0; ③F,(x0,0)≠0 则方程F(x,y)=0在点x的某邻域内可唯一确定一个 单值连续函数y=f(x),满足条件y0=f(xo),并有连续 导数 dy F ·(隐函数求导公式) dx 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 返回 一、一个方程的情形 定理1 设函数 ),( 00 xF y),( P x y ;0),(xF y00 = 则方程 0 = 0),( 在点xyxF 单值连续函数 y = f (x) , ,)( 00 y = f x 并有连续 y x F F x y −= d d 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： (隐函数求导公式 ) ① 具有连续的偏导数; 在点 的某一邻域内满足 的某邻域 内可唯一确定一个 0),( Fy yx 00 ≠ ② ③ 满足条件 导数
设y=f(x)为方程F(x,y)=0所确定的隐函数，则 F(x,f(x)≡0 |两边对x求导 OF oFdy=0 Ox ay dx 在(x0,0)的某邻域内F,≠0 dy F dx 2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 返回 F x f x ≡ 0))(,( 两边对 x 求导 0 d d ≡ ∂ ∂ + ∂ ∂ x y y F x F y x F F x y −= d d ≠ 0 Fy 设 = 为方程 yxFxfy = 0),()( 所确定的隐函数 , 在 ),( 00 x y 的某邻域内 则
例1验证方程siny+e-xy=1在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数y=∫(x),并求 dy d2y dxx=0’dx2x=0 (补充题) 解：令F(x,y)=siny+e*-xy-1,则 ①F=e-y,Fv=cosy-x连续， ②F(0,0)=0, ③F(0,0)=1≠0 由定理1可知，在x=0的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数y=f(x),且 2009年7月6日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 5 目录 上页 下页 返回 sin 1 x y e xy + − = 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 y = f x ,)( d 0 d , d 0 d 2 2 = x x = y x x y 解 : 令 sin),( yxeyyxF −−+= ,1 x 并求 例1 验证方程 （补充题） F = ,0)0,0( yeF , x x −= 连续 , 由 定理1 可知, =1)0,0( Fy ≠ 0 ① 导的隐函数 y = f x ,)( 则 F xy y = cos − ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且