第八章 第四节 重积今分的应用 (Application of Multiple Integrals) 一、曲面的面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 五、小结与思考练习 2009年7月25日星期六 目录 上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 1 目录 上页 下页 返回 第四节 重积分的应用 第八章 (Application of Multiple Integrals) 一、曲面的面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 五、小结与思考练习
一、曲面的面积(Area of Surface) 设光滑曲面S:z=f(x,y),(x,y)∈D 则面积A可看成曲面上各点M(x,y,) 处小切平面的面积dA无限积累而成. 设它在D上的投影为do,则 do=cosy.dA 1 V1+fx2(x,y)+f,2(x,) dA=/1+f2(x.y)+fy2(x.y)do (称为面积元素) 2009年7月25日星期六 2 目录 (上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 2 目录 上页 下页 返回 γ M d A z d σ n 一、曲面的面积 x y z S o 设光滑曲面 S z = f x y x y),(,),(: ∈ D 则面积 A 可看成曲面上各点 M x y z),( 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d σ , σ = γ ⋅dcosd A ),(),(1 1 cos 2 2 yxfyxf + x + y γ = d),(),(1d σ 2 2 += x + y yxfyxfA (称为面积元素 ) 则 γ γ M n G d σ (Area of Surface)
故有曲面面积公式 A+)+(x.)da 即 4-1+2+2 dxdy 若光滑曲面方程为x=g(y,),(y,)∈Dy,则有 1.1+(2+6Pad 2009年7月25日星期六 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 3 目录 上页 下页 返回 故有曲面面积公式 d),(),(1 σ 2 2 ∫∫ += + D x y A yxfyxf yx y z x z A D dd)()(1 22 ∫∫ ∂ ∂ + ∂ ∂ += 若光滑曲面方程为 zy z x y x A dd)()(1 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ += ∫∫ ,),(,),( D zy x = yg z y z ∈ 则有 D zy 即
若光滑曲面方程为y=h(z,x),(2,x)∈D2x,则有 1=n.1+2-8ad 若光滑曲面方程为隐式F(x,y,z)=0,且F≠0，则 oz Fx dz Fy 8x F’yF (x,y)∈Dxy dxdy 2009年7月25日星期六 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月25日星期六 4 目录 上页 下页 返回 xz x y z y A dd)()(1 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ += ∫∫ 若光滑曲面方程为 ,),(,),( D xz = hy z x z x ∈ 若光滑曲面方程为隐式 F x y z = ,0),( 则 则有 yx z y z x Dyx F F y z F F x z −= ∈ ∂ ∂ −= ∂ ∂ , ),(, ∫ ∫ ∴ A = D yx D xz z zyx F FFF 222 ++ ≠ ,0 且 Fz x dd y a
例1求半径为a的球的表面积 解：上半球面的方程为 ==Va2-x2-y2 D:x2+y2≤a2 于是+a- 1-2∬++可dd2a-dd =2 nr=.-4d 2009年7月25日星期六 5 目录 上页 下页 、返回
2009年7月25日星期六 5 目录 上页 下页 返回 例 1 求半径为 a 的球的表面积 . 解 : 上半球面的方程为 222 z = −− a x y 于是 2 2 1 z z x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ + + ∂ ∂ , 222 yxa a −− = 222 D x: + y ≤ a 222 2 d d D a x y axy = − − ∫∫ 2 0 0 2 2 1 2d d a a r r a r π = θ − ∫ ∫ ="" 2 2 2 1 dd x y D A z z xy = ++ ∫∫ 2 = 4 . π a