第九章 第二节对坐标的曲线积分 Curvilinear integral with respect to coordinate elements) 一、对坐标的曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系 四、小结与思考练习 2009年7月26日星期日 目录 上页 下页 、返回
2009年7月26日星期日 1 目录 上页 下页 返回 第二节 对坐标的曲线积分 第九章 （Curvilinear integral with respect to coordinate elements) 一、对坐标的曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系 四、小结与思考练习
一、对坐标的曲线积分的概念 1.变力沿曲线所作功的计算y L:A→B, F(x,y)=P(x,y)i+e(x,y)j L /Mi Ax 常力所作的功W=F.AB. 分割A=M,M1(x1,1),Mn-(x-1,yn1),Mn=B. M-1M;=(△x)i+(△y)j. 2009年7月26日星期日 2 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 2 目录 上页 下页 返回 o x y A B L 一、对坐标的曲线积分的概念 Mn −1 Mi Mi−1 M2 M1 Δxi i Δy 1. 变力沿曲线所作功的计算 L A → B,: jyxQiyxPyxF G G = + ),(),(),( 常力所作的功 分割 .),(,),(, A = xMM y1110 " − xM − ynnn −111 n = BM .)()( 1 i i i i jyixMM G G − = Δ + Δ W = F ⋅ AB
取F(5,7)=P(5,7,)i+Q(5,7)j, F(5,n)。B M.M △W,≈F(5,7)M,-M, M 即△W,≈P(5,)△x,+Q(5,7)Ay 求和W=∑△W, 近似值 =1 ()-Av,+()-Av 取极限W=四∑IP(5,n,)A+(5,)△，小 精确值 2009年7月26日星期日 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月26日星期日 3 目录 上页 下页 返回 求和 .]),(),([ 1 ∑= ≈ Δ⋅+Δ⋅ n i iii iii P ηξ Qx ηξ y .]),(),([lim 1 取极限 0 ∑= → = Δ⋅+Δ⋅ n i iii iii W P ηξ Qx ηξ y λ 近似值 精确值 jQiPF ,),(),(),( ii ii ii G G 取 = + ηξηξηξ 1 (, ) , W F MM i ii i i Δ≈ ⋅ ξ η − JJJJJJJG .),(),( i iiiiii 即 Δ ≈ ξ η Δ + ξ η ΔyQxPW ∑= Δ= n i WW i 1 o x y A B L M n−1 M i M i−1 M 2 M1 ),( F ξ i η i Δ xi i Δy
2.对坐标的曲线积分的概念 定义设L为xOy面内从，点A到点B的一条有向光 滑曲线孤，P(x,y)和Q(x,y)为定义在L上的有界函数. 在L上沿从点A到，点B的方向任意插入一点列M,(x,y) (i=1,2,.,n-1),将L分成n个有向小孤段 M,-M,（i=1,2,.,n;M=A,Mn=B) 记△x,=x,-x-1,Ay,=y-y1,在每个小孤段MM,上任 取一点(5，).如果当各小孤段的长度的最大值1→0时 极限im∑P(5,n,)△x,总存在，那么称此极限值为函数 i=1 2009年7月26日星期日 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 4 目录 上页 下页 返回 2. 对坐标的曲线积分的概念 定义 设 L 为 xOy 面内从点 A 到点 B 的一条有向光 滑曲线弧，Pxy (, ) 和Qxy (, ) 为定义在 L 上的有界函数 . 在 L 上沿从点 A 到点 B 的方向任意插入一点列 (, ) Miii x y （ i = 1, 2, , 1 " n − ）， 将 L 分成 n 个有向小弧段 M q i i −1M （i n = 1,2, , " ；M 0 = A , M n = B ）. 记 iii 1 xxx Δ= − − , iii 1 yyy Δ= − − , 在每个小弧段 M q i i −1M 上任 取一点(, ) i i ξ η . 如果当各小弧段的长度的最大值 λ → 0 时, 极限 0 1 lim ( , ) n ii i i P x → = ∑ Δ λ ξ η 总存在，那么称此极限值为函数
函数P(x,y)在有向曲线孤L上对坐标x的曲线积分，记为 ,P(x,y)d,即 ∫P(x,y)dx=1im∑P(5,n,)Ax 10 i= 类似地，如果极限1im∑Q(5,)△y,总存在，那么称 20 i 此极限值为函数Q(x,y)在有向曲线孤L上对坐标y的 曲线积分，记为，Q(x,y)dy,即 ∫，0(xd=lm∑05，n,y 其中P(x,y)、Q(x,y)叫做被积函数，以上对坐标的曲线 积分也称为第二类曲线积分 2009年7月26日星期日 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月26日星期日 5 目录 上页 下页 返回 函数 Pxy (, )在有向曲线弧 L上对坐标 x的曲线积分，记为 ( , )d L P xy x ∫ ,即 ( , )d L Pxy x ∫ 0 1 lim ( , ) n ii i i P x → = = ∑ Δ λ ξ η 类似地, 如果极限 0 1 lim ( , ) n ii i i Q y → = ∑ Δ λ ξ η 总存在，那么称 此极限值为函数 Q x(, ) y 在有向曲线弧 L 上对坐标 y 的 曲线积分，记为 ( , )d LQxy y ∫ ,即 ( , )d LQxy y ∫ 0 1 lim ( , ) n ii i i Q y → = = ∑ Δ λ ξ η 其中 P(, ) x y ﹑Qxy (, ) 叫做被积函数,以上对坐标的曲线 积分也称为第二类曲线积分