第七章 第三节全般分(Total Differeia) 一、全微分的定义 二、全微分存在的条件 三、小结与思考练习 2009年7月5日星期日 目录 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 1 目录 上页 下页 返回 第三节 全微分 第七章 (Total Differential) 一、全微分的定义 二、全微分存在的条件 三、小结与思考练习
一、全微分的定义(Definition of Total Differentials) 引例：设一块长方形金属薄片的长和宽分别为x、y, 从而薄片的面积为S=xy,金属薄片受温度变化的影响， 长由x变到x+△x,宽由y变到y+△y,则此薄片面 积的增量为 △y x△y △x△ △S=(x+△x)(y+△y)-xy y A=xy y△x =yAx+xAy+△x△y x △x 关于△x、△y 当p=V(④x)2+(△y)2→0时， 的线性主部 是比P的高阶无穷小 故△S≈y△x+x△y 称为函数S=xy在，点(x,y)的全微分 2009年7月5日星期日 2 目录今 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 2 目录 上页 下页 返回 一、全微分的定义 （Definition of Total Differentials 引例 : 设一块长方形金属薄片的长和宽分别为 x 、 y， ） 从而薄片的面积为 S ＝x y ，金属薄片受温度变化的影响, 长由 x 变到 x x + Δ , 宽由 y 变到 y y + Δ , 则此薄片面 x y A x = y Δx x y Δ y x Δ 积的增量为 Δy Δx yΔ Δ S = ( )( ) x xy y +Δ +Δ −xy = yΔ+Δ x xy + Δ x Δy 关于△x 、 △ y 的线性主部 当 2 2 ρ = () () 0 Δ +Δ → x y 时， 是比 ρ 的高阶无穷小. 故 ΔS y ≈ Δyx x + Δ 称为函数 S ＝ x y在点 (x , y ) 的全微分
一般地，我们有二元函数全微分的定义。 定义函数z=∫(x,y)在定义域D的内点(x,y) 处全增量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可表示成 △z=A△r+B△y+o(p),p=V(Ax)2+(Ay)2 其中A,B不依赖于△x,△y,仅与x,y有关，则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微，A△x+B△y称为函数f(x,y) 在点(x,y)的全微分，记作 dz=df=A△x+B△y 若函数在域D内各，点都可微，则称此函数在D内可微 2009年7月5日星期日 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 3 目录 上页 下页 返回 定义 函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) Δ z = f + Δxx y + Δy − f x y),(),( 可表示成 Δ z Δ= xA + B Δy + o ρ ,)( 其中 A , B 不依赖于 Δ x , Δ y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 f x y),( 在点 (x, y) 的全微分, 记作 z = dd f = ΔxA + B Δy 若函数在域 D 内各点都可微, 22 ρ Δ+Δ= yx )()( 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数 在 D 内可微 . Ax By Δ + Δ 一般地，我们有二元函数全微分的定义
二、全微分存在的条件 由微分定义： (Existence Conditions of Total Differential) lim Az lim [(AAx+BAy)+o(p)]=0 △x-→0 p-→01 △y-→0 得 limf(x+△x,y+△y)=f(x,y) △x→0 △y-→0 即 函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系： (1)函数可微二 偏导数存在 (2)偏导数连续二 函数可微 2009年7月5日星期日 目录 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 4 目录 上页 下页 返回 二、全微分存在的条件 =Δ + Δ + Δ − yxfyyxxfz ),(),( [(lim )() ] 0 ρ ρ = ΔxA + B Δ + oy → 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 ),(lim 0 0 f yyxx y x + Δ + Δ →Δ →Δ 得 z y x Δ →Δ →Δ 0 0 lim = 0 = f x y),( 函数在该点连续 即 由微分定义 : (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微 与偏导数的关系 : (1) 函数可微 偏导数存在 函数可微 （Existence Conditions of Total Differential ）
定理1（必要条件）若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微， 则该函数在该点偏导数 0肛0肥必存在，且有 Ox'Oy dz= 8x 证：由全增量公式△z=A△x+B△y+0(P),令△y=0, 得到对x的偏增量 △x2=f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+o(△x) 0z lim △x2=A Ox△x0△x 0z 同样可证 ay =B,因此有dz= Ax+ 8x 02 by y 2009年7月5日星期日 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月5日星期日 5 目录 上页 下页 返回 若函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , y y z x x z z Δ ∂ ∂ +Δ ∂ ∂ d = z f y f y), (), ( Δ x = − x z ∂ ∂ ∴ 同样可证 B, y z = ∂ ∂ y y z x x z z Δ ∂ ∂ +Δ ∂ ∂ d = 证: 由全增量公式 Δ z = ΔxA + B Δy + o ρ ,)( 令 Δ y = ,0 = Δ + ΔxoxA )( 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 + Δxx x 因此有 x z x x Δ Δ = →Δ 0 lim = A 定理 1 (必要条件 )