第六章 第五节平面及其方程 The Planes and Its Equations) 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 四、小结与思考练习 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第五节 平面及其方程 第六章 （The Planes and Its Equations) 四、小结与思考练习 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
一、平面的点法式方程 (The Point-Normal Form Equations of a Plane) 设一平面通过已知点M(x0,y0,2o)且垂直于非零向 量=(A,B,C),求该平面Π的方程. nt 任取点M(x,y,z)∈I,则有 MoM⊥ 故 MoM.n=0 /X y M0M=(x-x0,y-y0,2-20) A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-20)=0 ① 称①式为平面Π的点法式方程，称为平面Ⅱ的法向量. 2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 Π z y x o M 0 n ① 一、平面的点法式方程 ),( 0000 zyxM 且垂直于非零向 0)()()( 0 0 0 设一平面通过已知点 − xxA + B y − y + C z − z = M 称①式为平面 Π 的点法式方程, 求该平面 Π的方程. 任取点 zyxM ∈ Π,),( ),( 000 − xx y − y z − z 法向量. 量 = An B C ,),( M M ⊥ n 0 0 M 0 M ⋅n = M 0 M = 则有 故 称 n 为平面 Π 的 (The Point-Normal Form Equations of a Plane)
例1求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程.（自学课本例2） 解：取该平面Π的法向量为 nt i=M1M2×M1M3 M M3 i方 -34-6 M2 -23-1 =(14,9,-1) 又M1∈Π，利用，点法式得平面Π的方程 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0 即 14x+9y-z-15=0 2009年7月3日星期五 3 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 i j k = , 又 M 1 ∈ Π = − )1,9,14( x − + y + − z − = 0)4()1(9)2(14 即 x + y − z − = 015914 M 1 M 2 M 3 解 : 取该平面 Π 的法向量为 ),2,3,1(),4,1,2( M 1 − M 2 − − )3,2,0( M 3 的平面 Π 的方程. (自学课本 例 2 ） 利用点法式得平面 Π 的方程 ∏ − 3 4 − 6 − 2 3 1− n n = M M × M M3121 例1 求过三点
说明：此平面的三点式方程也可写成 x-2y+1z-4 -34-6=0 -23-1 一般情况：过三点Mk(xk,yk,3k)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-x1 y-y z-21 x2-1y2-y1 22-21 =0 X3-X1 y3-y1 23-21 2009年7月3日星期五 4 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 此平面的三点式方程也可写成 0 132 643 = − − − − x − y + z − 412 0 131313 121212 1 1 1 = −−− −−− − − − zzyyxx zzyyxx yyxx z z 一般情况 : 过三点 M x y z k = )3,2,1(),( k k k k 的平面方程为 说明 :
特别，当平面与三坐标轴的交点分别为 P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c) 时，平面方程为 x+y+2=1(a,b,c≠0) a b c 此式称为平面的截距式方程. 分析：利用三点式 x-a y Z -a b0=0 -a 0 按第一行展开得(x-a)bc-y(-a)c+zab=0 即 bcx acy +abz abc 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 、返回
2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 此式称为平面的截距式方程. P bQa R c),0,0(,)0,0(,)0,0,( =++ 1 c z b y a x )0,( 时, cba ≠ − )( bcax − y − )( ca + z ba = 0 bcx + y +aac z = abcb 平面方程为 P o z y x R Q 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 − ax y z − a b 0 − a 0 c 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为