第七章 第四节多元复合品数的求导法则 (Derivation Rule of Multivariate Composite Functions) 一、多元复合函数的求导法则 二、全微分的形式不变性 三、小结与思考练习 2009年7月6日星期一 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第四节 多元复合函数的求导法则 第七章 (Derivation Rule of Multivariate Composite Functions) 一、多元复合函数的求导法则 二、全微分的形式不变性 三、小结与思考练习
复习引入 一元复合函数y=f(u),u=p(x) 求导法则 dydy du dx du dx 微分法则 dy=f(u)du=f(u)o'(x)dx 推广 多元复合函数的求导法则和微分法则 2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 返回 复习引入 一元复合函数 y = f = ϕ xuu )(),( 求导法则 x u u y x y d d d d d d ⋅= 微分法则 y = f ′ uu = f ′ ϕ′ d)()(d)(d xxu 多元复合函数的求导法则 和微分法则 推广
一、多元复合函数的求导法则 定理若函数u=p(t),v=(t)在点t可导，z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导连续，则复合函数z=f(p(t),y(t) 在，点t可导，且有链式法则 dz oz du oz dv dt Ou dt Ov dt u D 证：设t取增量△t,则相应中间变量 有增量△u,△V △z= u +2Ay+o(p)(p=y(w2+(A) 2009年7月6日星期一 3 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 返回 z = f ϕ t ψ t))(),(( 一、多元复合函数的求导法则 定理 若函数 = ϕ = ψ )(,)( ttvtu 可导在点 , z = f vu ),( 在点 vu ),( 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d ⋅ ∂ ∂ +⋅ ∂ ∂ = z 则复合函数 证 : 设 t 取增量△ t , v v z u u z z Δ ∂ ∂ +Δ ∂ ∂ =Δ ))()(( 22 + o ρ )( ρ Δ+Δ= vu 则相应中间变量 且有链式法则 vu t t 有增量△u ,△v
CzAu+0z△y+o(p）(p=(A02+(A2) △t Ou△ta△t△t 令△t→0，则有△u→0，△v→0， △u 、du △y.dv △t →dt △t →d o(p)_o(p) △t (△t<0时，根式前加_”号) dz Oz du oz dy (全导数公式) dt Ou dt Ov dt 2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 返回 令 t →Δ ,0 则有 Δ → Δvu → ,0,0 t o Δ ρ )( ( 全导数公式 ) t v v z t u u z t z Δ Δ ∂ ∂ + Δ Δ ∂ ∂ = Δ Δ t o Δ + ρ )( z vu t t ))()(( 22 ρ Δ+Δ= vu )( ρ o ρ = )()( 2 2 t v t u Δ Δ + Δ Δ → 0 ( △ t ＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d → Δ Δ → Δ Δ t v v z t u u z t z d d d d d d ⋅ ∂ ∂ +⋅ ∂ ∂ =
说明：若定理中f(,v)在点(u,v)偏导数连续减弱为 偏导数存在，则定理结论不一定成立. u-v 例如：=fu,y=， 2+22+20 0, u2+v2=0 u=t,v=t ∂z 易知： 0z 00-0,0)=0,80.0=10,0)=0 但复合函数z=f(1,)= 2 dz 1 Oz diu z dy =0.1+0.1=0 dt 2 ou dt av dt 2009年7月6日星期一 5 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 5 目录 上页 下页 返回 若定理中 在点 vuvuf ),(),( 例如 : z = f vu ),( = u = t , v = t 易知: ,0)0,0( )0,0( == ∂ ∂ uf u z 但复合函数 z = f t t ),( 2 1 d d = t z ≠ t v v z t u u z d d d d ⋅ ∂ ∂ +⋅ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ = 01010 0)0,0( )0,0( == ∂ ∂ vf v z 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 2 t = , 0 22 22 2 ≠+ + vu vu vu ,0 0 22 + vu = 则定理结论不一定成立. 说明: