第七章 第六节多元微分学在儿何上的寇用 (Applications of differential calculus in geometry) 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、小结与思考练习 2009年7月6日星期一 1 目录 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第六节 多元微分学在几何上的应用 第七章 (Applications of differential calculus in geometry) 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 三、小结与思考练习
复习：平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线y=f(x)在点(xo,0)有 切线方程y-y0=f'(x)(x-xo) 1 法线方程y-0= f(xo (x-x0) 若平面光滑曲线方程为F(x,y)=0,因 dy F(x,y) dx F(x,y) 故在点(x0,0)有 切线方程F(xo,yo)(x-xo)+F,(xo,y0Xy-yo)=0 法线方程Fy(x0,y0)x-xo)-Fx(xo,y0)(y-0)=0 2009年7月6日星期一 2 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 返回 复习 : 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 y = f x)( ),( 00 x y 切线方程 0 y − y 法线方程 0 y − y 若平面光滑曲线方程为 xF y = ,0),( ),( ),( d d yxF F x y x y y x −= 故在点 ),( 00 x y 切线方程 法线方程 )( 0 )(),( + Fy yx 00 ),( y − y 00 0 F x y xx x − = 0 ))(( 00 = f ′ − xxx )()( 1 0 0 xx xf − ′ −= 有 因 在点 有 0)(),( y yxF 00 ),( − xx 0 )( − x xF y00 y − y 0 =
一、空间曲线的切线与法平面 (Tangent and normal plane of space curve) 空间光滑曲线在点M处的切线为此，点处割线的极限 位置.过，点M与切线垂直的平面称为曲线在该，点的法 平面. T 点击看动画 2009年7月6日星期一 3 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 返回 一、空间曲线的切线与法平面 位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的 法 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面. 点击看动画 Γ T M π (Tangent and normal plane of space curve)
1.曲线方程为参数方程的情况 T:x=p(t),y=w(t),z=@(t) M 设t=t对应M(x0,y0,20) t=0+△t对应M'(x+△x,yo+Ay,0+△z) 割线M'的方程： X-0-y-y0-2-20 △x Ay △z 上述方程之分母同除以△1，令△t→0，得 切线方程 x-0=y-y0=2-20 e'(to)w(to) 0'(40) 2009年7月6日星期一 4 目录○ 上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 返回 Γ x = ϕ t y = ψ t z = ω t)(,)(,)(: z z z y yy x x x Δ − = Δ − = Δ − 0 0 0 上述方程之分母同除以 Δ t , 令 Δ t → ,0 得 切线方程 0 0 0 yyxx z − z = − = − ),( 0 000 设 = 对应 zyxMtt ),( 0 0 0 0 = Δ+ 对应 ′ + Δ + Δ + ΔzzyyxxMttt )( 0 ϕ ′ t )( 0 ψ′ t )( 0 ω′ t T M Γ M ′ 割线 MM ′的方程: 1. 曲线方程为参数方程的情况
此处要求0(to),w'(to),0'(to)不全为0， 如个别为0，则理解为分子为0 切线的方向向量： T=(@(to),w(to),@'(to) 称为曲线的切向量. 下也是法平面的法向量，因此得法平面方程 0'(tx-x)+y'(t0)(y-y0+0'(t0(z-20)=0 说明若引进向量函数r(t)=(0(t),y(t),o(t),则「 为r()的矢端曲线，而在0处的导向量 F(to)=(o'(to),y'(4o),0'(to) 就是该点的切向量 2009年7月6日星期一 5 目录 (上页 下页 、返回
2009年7月6日星期一 5 目录 上页 下页 返回 ))(( 00 ϕ′ t x − x 此处要求 )(,)(,)( 000 ϕ′ t ψ′ t ω′ t 也是法平面的法向量, )()( 0 0 yy 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . + ψ′ t − 0))(( + ω′ t z − z00 = 如个别为0, 则理解为分子为 0 . π M Γ 不全为0, ))(,)(,)(( 000 T = ϕ′ t ψ′ t ω′ t T 因此得法平面方程 说明 : 若引进向量函数 r t = ϕ t ψ t ω t ))(,)(,)(()( , 则 Γ 为 r ( t) 的矢端曲线, 0 而 在 t ))(,)(,)(()( 0 000 处的导向量 r′ t = ϕ′ t ψ′ t ω′ t 就是该点的切向量. o r t)( T