第三节第8章三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的计算下页返回
第8章 第三节 三重积分 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
一、三重积分的概念引例：成Q内分布着某种不均匀的设在空间有限闭区域物质,密度函数为μ(x,y,z)C,求分布在 Q 内的物质的质量M类似二重积分解决问题的思想，采用解决方法：“大化小，常代变，近似和，求极限'福2可得nAVkM = limu(Ek,nk,Sk)AVk元-0k=l(Ek,nk,Sk)目录上页下页返回结束机动
一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k ( , , )v ( , , ) k k k k v 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质, ( x, y, z) C, 求分布在 内的物质的 可得 = n k 1 0 lim → M = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为
定义设f(x,y,),(x,y,z),若对Q作任意分割AVk（=l,2...n)任意取点（k,nk,Sk）△Vk下列"乘极限积和式"n记作JEf(Ek,nk,k)AVklimf(x, y,z)dv一1-0k=1存在，则称此极限为函数f（x,y,2)在Q上的三重积分dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz性质：：三重积分的性质与二重积分相似.例如设f(x,y,)在有界闭域上连续,V为Q的中值定理体积，则存在（5,n5)EQ，使得Jl, (x, y,2)dv= (5,n.5)V目录上页下页返回结束机动
定义. 设 f ( x, y, z) , ( x, y, z) , k k k n k k f v → = lim ( , , ) 1 0 存在, f ( x, y, z) f (x, y,z)dv dv 称为体积元素, dxdydz. 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 下列 “乘 中值定理. 在有界闭域 上连续, 则存在 ( ,, ) , 使得 f (x, y,z) d v = f ( ,, )V V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作
二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分【f(x,y,z)≥0，并将它看作某物体先假设连续函数的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算方法：方法1.投影法（先一后二”方法2：截面法（先二后一”）方法3.三次积分法最后，推广到一般可积函数的积分计算目录上页返回结束机动下页
二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 f ( x, y, z) 0 , 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:
方法1.投影法（“先一后二"z = 22(x, y)Jz1(x,y)≤z≤z2(x,y)Q:(x,y)ED细长柱体微元的质量为=2(x,y)dxdyf(x, y,z)dz /oz=zi(xy)zi(x,y)该物体的质量为LDxJJf。 f(x, y,=)dydxdyz2(x,y)=ID(dxdyf(x, y,z)dz微元线密度~zi(x,y)f(x, y,z)dxdy22(x,y)记作JDdxdyf(x, y,z)dzzi(x,y)目录上页下页返回结束机动
z x y D = D d xd y 方法1. 投影法 (“先一后二” ) x y D z x y z z x y ( , ) ( , ) ( , ) : 1 2 f x y z z x y z x y z x y ( , , )d d d ( , ) ( , ) 2 1 该物体的质量为 f (x, y,z) d v ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z D z x y z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d f ( x, y, z) d xd y 细长柱体微元的质量为 ( , ) 2 z = z x y ( , ) 1 z = z x y d x d y 微元线密度≈ 记作