第九章无穷级数教学提示：无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性态，及进行数值计算的一种有效的工具，包括常数项级数与函数项级数两个部分：本章先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何将函数展开成幂级数和三角级数的问题，教学要求：理解常数项级数收敛与发散的概念；收敛级数和的概念；掌握级数的基本性质与收敛的必要条件：会应用收敛与发散的定义及收敛的必要条件判定一些级数的敛散性；掌握正项级数敛散性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法；掌握交错级数概念及莱布尼兹判别法；了解任意项级数绝对收敛和条件收敛的概念以及绝对收敛和条件收敛的关系：掌握判别数项级数敛散性的一般步骤；了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数收敛半径、收敛区间、及收敛域的求法：了解幂级数在收敛区间内的重要性质（运算、和函数的连续性、逐项求导、逐项积分：了解函数展开成泰勒级数(幂级数)的充分必要条件；掌握e，sinx，cosx，ln(1+x)，(1+x）"的麦克劳林展开式（或在x=0处的幂级数展开式)：掌握将函数展开成幂级数的方法；会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和教学重点：级数收敛与发散的概念：正项级数敛散性的判别法：交错级数概念及莱布尼慈判别法任意项级数绝对收敛和条件收敛的概念及判别方法：幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域及和函数的求法：函数展开成幂级数教学难点：数项级数敛散性的判别法：幂级数和函数的求法HOHOHOHHOOH第一节常数项级数的概念与性质一、常数项级数的基本概念把有限多个数的和推广到无限多个数的和的情形，就是如下级数的新概念定义1由给定数列u,uz,u,…构成的形式表达式u, +u,+.+u,+...叫做(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记作u，即Zu.u,,n=其中第n项u，称为级数的一般项或通项该级数定义仅仅是一个形式化的定义，它并未明确无限多个数量相加的意义：无限多个数量的相加并不能简单地认为是一项又一项地累加起来就能完成，因为这一累加过程是无法完成的。为给出级数中无限多个数量相加的数学定义，我们引入级数的部分和与部分和数列的概念，定义2称级数u,的前n项的和为级数u,的部分和，记作s.，即Mal-S=u+u+.+u.=
第九章 无穷级数 教学提示: 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性态，及进行数 值计算的一种有效的工具，包括常数项级数与函数项级数两个部分．本章先讨论常数项级数，介绍无 穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何将函数展开成幂级数和三角级数的问题． 教学要求：理解常数项级数收敛与发散的概念；收敛级数和的概念；掌握级数的基本性质与收敛 的必要条件；会应用收敛与发散的定义及收敛的必要条件判定一些级数的敛散性；掌握正项级数敛散 性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法；掌握交错级数概念及莱布尼兹判别法；了解任意项 级数绝对收敛和条件收敛的概念以及绝对收敛和条件收敛的关系； 掌握判别数项级数敛散性的一般步 骤；了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数收敛半径、 收敛区间、及收敛域的求法；了解幂级数在收敛区间内的重要性质（运算、和函数的连续性、逐项求 导、逐项积分；了解函数展开成泰勒级数(幂级数)的充分必要条件；掌握 x e , sin x , cos x , ln(1+ x) , ( )m 1+ x 的麦克劳林展开式( 或在 x = 0 处的幂级数展开式)；掌握将函数展开成幂级数的方法；会求一 些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和． 教学重点：级数收敛与发散的概念；正项级数敛散性的判别法；交错级数概念及莱布尼兹判别法； 任意项级数绝对收敛和条件收敛的概念及判别方法； 幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域及和函数的 求法； 函数展开成幂级数． 教学难点: 数项级数敛散性的判别法；幂级数和函数的求法． 第一节 常数项级数的概念与性质 一、常数项级数的基本概念 把有限多个数的和推广到无限多个数的和的情形，就是如下级数的新概念． 定义 1 由给定数列 1 2 , , , , n u u L u L 构成的形式表达式 1 2 n u + u +L+ u +L 叫做(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记作 1 n n u • = Â ，即 1 n n u • = Â = 1 2 n u + u +L+ u +L， 其中第n 项 n u 称为级数的一般项或通项． 该级数定义仅仅是一个形式化的定义，它并未明确无限多个数量相加的意义．无限多个数量的相 加并不能简单地认为是一项又一项地累加起来就能完成，因为这一累加过程是无法完成的．为给出级 数中无限多个数量相加的数学定义，我们引入级数的部分和与部分和数列的概念． 定义 2 称级数 1 n n u • = Â 的前n 项的和为级数 1 n n u • = Â 的部分和，记作 n s ，即 1 2 1 n n n i i s u u u u = = + + L + = Â ．
第一节常数项级数的概念与性质267定义3当n依次取1,2,3,…时，级数u,的部分和的取值构成了一个新的数列(s,)：nalS,=u,S=u+u,..,S,=u,+u,+uy+.+un，..则数列(s,）叫做级数u,的部分和数列n=l根据级数u，的部分和数列(s.)是否有极限，我们引进级数u，收敛与发散的概念.n=1二定义4如果级数u，的部分和数列(s,）有极限s，即lims,=s，则称无穷级数u,收敛，这时极1=In=l限s称为这级数的和，并写成s=u+u+u+...+u+如果(s)没有极限，则称无穷级数u，发散=显然，当级数收敛于s时，其部分和s是级数的和s的近似值，它们之间的差值r, =$-S, =un+I + un+2 +... +un+k +...叫做级数的余项。显然limr=0．用近似值s,代替s所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是由以上定义知，级数与数列极限有着密切的联系。给定级数us，就有部分和数列(s），反之，1=1给定数列(s,)，就有以(s）为部分和数列的级数S, +(s, -s)+...+(s. -s.)+..Zun=-2其中u=s，u=s-s-(n≥2)。按定义，级数>u与数列(s,)同时收敛或同时发散，且在收敛时有n=lZu,=lims, =limZu .i=l从而判断一个级数是否收敛，只要看它的部分和数列是否有极限就可以了111例1判定级数+.的收敛性1-22·3n(n+1)解由于111U.nn+1n(n+l)因此部分和为111-11=(1-)+(S.=..1.22·32n(n+1)2.3n+ln+11从而lim S, = lim(1 -=1nt1故级数收敛，和为1.例2判定级数In(1+-)的收敛性.n解由于n+1u, = In(I+-=In(n+1)-Inn,=Innn
第一节 常数项级数的概念与性质 267 定义 3 当 n 依次取1,2,3,L时，级数 1 n n u • = Â 的部分和的取值构成了一个新的数列{ }n s ： 1 1 s = u ， 2 1 2 s = u + u ，L ， n 1 2 3 n s = u + u +u +L + u ，L ， 则数列{ }n s 叫做级数 1 n n u • = Â 的部分和数列． 根据级数 1 n n u • = Â 的部分和数列{ }n s 是否有极限，我们引进级数 1 n n u • = Â 收敛与发散的概念． 定义 4 如果级数 1 n n u • = Â 的部分和数列{ }n s 有极限s ，即lim n n s s Æ• = ，则称无穷级数 1 n n u • = Â 收敛，这时极 限 s 称为这级数的和，并写成 1 2 3 n s = u +u + u + L + u + L． 如果{ }n s 没有极限，则称无穷级数 1 n n u • = Â 发散． 显然，当级数收敛于s 时，其部分和 n s 是级数的和s 的近似值，它们之间的差值 n n n 1 n 2 n k r s s u u u = - = + + + + L + + + L 叫做级数的余项．显然lim 0 n n r Æ• = ．用近似值 n s 代替s 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是 nr ． 由以上定义知，级数与数列极限有着密切的联系．给定级数 1 n n u • = Â ，就有部分和数列{ }n s ．反之， 给定数列{ }n s ，就有以{ }n s 为部分和数列的级数 1 2 1 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n s s s s s s s s u • • - - = = + - +L+ - +L = +Â - = Â ， 其中 1 1 u = s ， 1( 2) n n n u s s n = - - ³ ．按定义，级数 1 n n u • = Â 与数列{ }n s 同时收敛或同时发散，且在收敛时有 1 n lim n n n u s • Æ• = Â = 1 lim n i n i u Æ• = = Â ． 从而判断一个级数是否收敛，只要看它的部分和数列是否有极限就可以了． 例 1 判定级数 1 1 1 1 2 2 3 n(n 1) + + + + × × + L L 的收敛性． 解 由于 1 1 1 ( 1) 1 n u n n n n = = - + + ， 因此部分和为 1 1 1 1 2 2 3 ( 1) n s n n = + + + × × + L 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 n n 1 = - + - + + - + L 1 1 n 1 = - + ． 从而 1 lim lim(1 ) 1 1 n n n s Æ• Æ• n = - = + ． 故级数收敛，和为 1． 例 2 判定级数 1 1 ln(1 ) n n • = Â + 的收敛性． 解 由于 1 1 ln(1 ) ln ln( 1) ln n n u n n n n + = + = = + -
268第9章无穷级数因此部分和为) =(ln2 -In1)+(ln3-In2)++(ln(n+1)-Inn) =In(n+1)s, = In(1+1)+ In(1 + )+...+In(1+2b从而lim s, = lim In(n + 1)= +o0 .+o故级数发散例3判定等比级数（几何级数）Zaq"=a+aq+aq+..+aq"+..k=0的收敛性，其中a0,g为公比。解如果g±1时，则部分和为aaq",=a+aqaq"-_a-q1-q1-q1-qqC当|qk1时，由于limq=0，从而lims，这时等比级数收敛，和为s：1-q1-q当|q>1时，由于limq"=00，从而lims,=80，这时等比级数发散，如果|q1时，则当q=1时，S=na→，这时等比级数发散。当q=-1时，等比级数为a-a+a-a+...显然s随着n为奇数或为偶数而等于α或0，从而s的极限不存在，这时等比级数发散，总上所述，我们得到这样的结果：如果等比级数的公比的绝对值当|qk1时，则级数收敛；如果/q>1时，则等比级数发散.11例 4 求级数之()的和.2号台(n(n+2)1得之解由几何级数，=1.又台2"1111111S.a+22-2n-131.32.42nn+2n(n+2)04n111111.3111la)+()1)+(2+2422n+2n-1n+2nn1W1,3/3于是=ms,=m25-n+2n(n+2)411)=1+3.72再由性质1可得2444台n(n+2)二、收敛级数的基本性质由无穷级数的部分和概念、收敛与发散的概念，我们可以得收敛级数的几个基本性质性质1若级数u,收敛于和s，k为常数，则级数ku,收敛于ks.n=ln=l证设S,与o,分别为级数u.与ku,的部分和，则n=lo,=k.u,+k.u,+..+k.u.=k.(u+uz+.+u,)=k.s,.于是limo,=limks, =klim s,= ks
268 第 9 章 无穷级数 因此部分和为 1 1 ln(1 1) ln(1 ) ln(1 ) 2 n s n = + + + +L+ + = (ln 2 - ln1) + (ln3- ln 2) +L+ (ln(n +1) - ln n) = ln(n + 1) ． 从而 lim limln( 1) n n n s n Æ• Æ• = + = +• ． 故级数发散． 例 3 判定等比级数（几何级数） 2 0 k n k aq a aq aq aq • = Â = + + +L+ +L 的收敛性，其中a ¹ 0,q 为公比． 解 如果q ¹ 1时，则部分和为 1 (1 ) 1 1 1 n n n n a q a aq s a aq aq q q q - - = + + + = = - - - - L ， 当| q |< 1时，由于lim 0 n n q Æ• = ，从而lim 1 n n a s Æ• q = - ，这时等比级数收敛，和为 1 a s q = - ． 当| q |> 1时，由于lim n n q Æ• = • ，从而lim n n s Æ• = • ，这时等比级数发散． 如果| q | =1时，则当q = 1时， n s = na Æ • ，这时等比级数发散．当q = - 1时，等比级数为 a - a + a - a +L， 显然 n s 随着 n 为奇数或为偶数而等于a 或 0，从而 n s 的极限不存在，这时等比级数发散． 总上所述， 我们得到这样的结果： 如果等比级数的公比的绝对值当| q |< 1时， 则级数收敛； 如果| q |³ 1 时，则等比级数发散． 例 4 求级数 1 1 1 ( ) ( 2) 2 n n n n • = + + Â 的和． 解 由几何级数，得 1 1 1 2 n n • = Â = ．又 1 1 1 1 3 2 4 ( 2) n S n n = + + + × × + L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 4 2 n 1 n 2 n n 2 = - + - + + - + - - + L 1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ) ( ) ( ) ( )] 2 3 2 4 n 1 n n n 2 = - + - + + - + - - + L 1 3 1 ( ) 2 2 n 2 = - + ． 于是 1 1 n n(n 2) • = + Â 1 3 1 3 lim lim ( ) 2 2 2 4 n n n S Æ• Æ• n = = - = + ． 再由性质 1 可得 1 1 1 ( ) ( 2) 2 n n n n • = + + Â 3 7 1 4 4 = + = ． 二、收敛级数的基本性质 由无穷级数的部分和概念、收敛与发散的概念，我们可以得收敛级数的几个基本性质． 性质 1 若级数 1 n n u • = Â 收敛于和s ， k 为常数，则级数 1 n n ku • = Â 收敛于ks ． 证 设 n S 与s n 分别为级数 1 n n u • = Â 与 1 n n ku • = Â 的部分和，则 n 1 2 n s =k ×u + k ×u +L + k × u 1 2 ( ) n n = k × u + u + L + u = k × s ． 于是 lim n lim n lim n n n n s ks k s ks Æ• Æ• Æ• = = =
第一节常数项级数的概念与性质269即ku收敛，且收敛于ks.n=l由关系,=ks,知道，如果(S,）极限不存在且k+0，那么(o,)不可能有极限，因此我们得到如下结论：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变，即推论若级数u,发散，k是非零常数，则级数ku,也发散1分别收敛于和s、，则级数(u,±v)也收敛和S±.性质2若级数uw、2-=l的部分和分别为S、,，则级数(u.±v)的部分和证设级数un=li=l=lz,=(u,±)+(u,±y2)++(u,±v,)=(u,+u+.+u.)±(y+v+..+v)=s,±o.于是lim≥,=lim(s,±o,)=lims,±limo,=s±o,na→→即级数(u,±v）收敛于S±.1=1性质2也说成是“两个收敛级数可以逐项相加或相减”1221212"例5 判定级数()+.的收敛性23°1之(均收敛，故原级数收敛。解因为烹它”3这里需要指出的是，当级数之u，收敛，而级数之，发散时，级数之(u,±）必发散。事实上，假an=ll设(u，±v,)收敛，已知,收敛，则由性质2可得[(u,±v.)-u,)亦收敛，即收敛，这与已=1Weli--知相矛盾，故级数(u,±v)发散当级数u与均发散时，Z(u,±v)可能收敛.如取u=l,n=l===lV,=(-1)"，则Z(u,+v)-[+(-1)] =2+2+.+2+nsl显然是发散的。如取u=1，V=-1，则(u,±v)-[1-1]=0+0+…+0+，显然是收敛的In=l性质3在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。证我们只需证明“在级数的前面部分去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性”，因为其它情形都可以看作是在级数的前面部分先去掉有限项，然后在加上有限项的结果，将级数u+u,++u+u++u+++un+的前k项去掉，得级数U+ +U+2 +..+uk+n +...,那么这个新得的级数的部分和为O,= Uk+ + Uk2 +...+ Uk+n= Sk+n-St其中sk+是原级数的前k+n项的部分和。因为s,是一个常数，因此
第一节 常数项级数的概念与性质 269 即 1 n n ku • =  收敛，且收敛于ks ． 由关系 n n s = ks 知道，如果{ }n S 极限不存在且 k ¹ 0 ，那么{ } s n 不可能有极限．因此我们得到如下 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变，即 推论 若级数 1 n n u • =  发散，k 是非零常数，则级数 1 n n ku • =  也发散． 性质 2 若级数 1 n n u • =  、 1 n n v • =  分别收敛于和s 、s ，则级数 1 ( ) n n n u v • =  ± 也收敛和S ±s ． 证 设级数 1 n n u • =  、 1 n n v • =  的部分和分别为 n S 、s n ， 则级数 1 ( ) n n n u v • =  ± 的部分和 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n z = u ± v + u ± v +L+ u ± v 1 2 1 2 ( ) ( ) n n = u + u +L + u ± v + v +L + v n n = s ± s ． 于是 lim n lim( n n ) lim n lim n n n n n z s s s s s s Æ• Æ• Æ• Æ• = ± = ± = ± ， 即级数 1 ( ) n n n u v • =  ± 收敛于S ±s ． 性质 2 也说成是“两个收敛级数可以逐项相加或相减” ． 例 5 判定级数 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 n n n - + - +L+ - +L的收敛性． 解 因为 1 1 ( ) 2 n n • =  ， 1 2 ( ) 3 n n • =  均收敛，故原级数收敛． 这里需要指出的是，当级数 1 n n u • =  收敛，而级数 1 n n v • =  发散时，级数 1 ( ) n n n u v • =  ± 必发散．事实上， 假 设 1 ( ) n n n u v • =  ± 收敛，已知 1 n n u • =  收敛，则由性质 2 可得 1 [( ) ] n n n n u v u • =  ± - 亦收敛，即 1 n n v • = ±Â 收敛，这与已 知相矛盾，故级数 1 ( ) n n n u v • =  ± 发散．当级数 1 n n u • =  与 1 n n v • =  均发散时， 1 ( ) n n n u v • =  ± 可能收敛．如取 1 n u = ， ( 1) n n v = - ，则 1 1 ( ) [1 ( 1) ] 2 2 2 n n n n n u v • • = =  ± =  + - = + +L+ +L ， 显然是发散的．如取 1 n u = ， 1 n v = - ，则 1 1 ( ) [1 1] 0 0 0 n n n n u v • • = =  ± =  - = + +L+ +L ，显然是收敛的． 性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性． 证 我们只需证明“在级数的前面部分去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性” ，因为其 它情形都可以看作是在级数的前面部分先去掉有限项，然后在加上有限项的结果． 将级数 1 2 k k 1 k 2 k n u u u u u u + + L + + + + + + L + + + L 的前k 项去掉，得级数 k 1 k 2 k n u u u + + + +L + + +L， 那么这个新得的级数的部分和为 n k 1 k 2 k n s u u u = + + + +L + + k n k s s = + - ， 其中 k n s + 是原级数的前k + n 项的部分和．因为 k s 是一个常数，因此
270第9章无穷级数limo,=lim(Sk+n-S.),即,与Skt有相同的收敛性完全类似地，可以证明在级数的前面增加有限项、改变有限项也不会改变级数的敛散性，例6判定级数之的收敛性。冶4+n解该级数是调和级数之！去掉前三项所得，故发散。-n-()()() 的收敏性。例7判定级数1+2+3+…+100+解因为-()+()-(日)+..收敛，故原级数收敛.3-性质4如果级数≥u，收敛，则对这个级数的项任意加括号后所成级数三(u,+..+u.)+(um+.+um)+..+(u.+...+um)+..仍收敛，且其和不变-证设级数u（相应于前n项)的部分和为s，加括号后所成级数（相应于前k项)的部分和为n=lOk，则O,=u, +...+u,=S,'G,=(u +..+um)+(um+I +..+un.)=$.,,O,=(u+..+u)+(um++..+um)++(um+..+um)=Sn可见数列(o)是数列(s)的子列，由数列(s,)收敛以及数列与其子数列收敛的关系，子数列(c)必收敛，且有limo,=limS,即加括号后所成级数收敛，且其和不变推论如果级数u，按某一方法加括号之后所形成的级数是发散的，则级数ku，必发散（性质4El的逆否命题）.事实上，倘若原来级数收敛，则根据性质4知道，加括号后的级数就应该收敛了.注意如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如，级数(1-1)+(1-1)+ ..收敛于0，但去括号之后所得级数1-1 +1-1+ -*. +(-1) +-+ + (-1)" + 是发散的，这一事实也可以表述为“使级数加括号后收敛，但它不一定收敛”性质5（级数收敛的必要条件）如果级数u，收敛，则它的一般项u,趋于零，即=limu,=0
270 第 9 章 无穷级数 lim lim( ) n k n k n n s s s + Æ• Æ• = - ， 即s n 与 k n S + 有相同的收敛性． 完全类似地，可以证明在级数的前面增加有限项、改变有限项也不会改变级数的敛散性． 例 6 判定级数 1 1 n 4 n • = + Â 的收敛性． 解 该级数是调和级数 1 1 n n • = Â 去掉前三项所得，故发散． 例 7 判定级数 2 3 4 2 2 2 2 1 2 3 100 3 3 3 3 Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ + + + + + - Á ˜ + Á ˜ - Á ˜ + Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯ L L 的收敛性． 解 因为 2 3 4 2 2 2 2 3 3 3 3 Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ - Á ˜ + Á ˜ - Á ˜ + Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯ L 收敛，故原级数收敛． 性质 4 如果级数 1 n n u • = Â 收敛，则对这个级数的项任意加括号后所成级数 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) k k n n n n n u u u u u u - +L+ + + +L+ +L+ +L+ +L 仍收敛，且其和不变． 证 设级数 1 n n u • = Â (相应于前 n 项)的部分和为 n s ，加括号后所成级数% (相应于前 k 项)的部分和为 s k ，则 1 1 1 1 n n s = u +L + u = s ， 1 1 2 2 2 1 1 ( ) ( ) n n n n s u u u u s = +L+ + + +L + = ， L L L L L L L L L L 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) k k k k n n n n n n s u u u u u u s - = +L+ + + +L+ +L+ +L + = ， L L L L L L L L L L 可见数列{ } s k 是数列{ }n s 的子列，由数列{ }n s 收敛以及数列与其子数列收敛的关系，子数列{ } s k 必收 敛，且有 lim k lim n k n s s Æ• Æ• = ， 即加括号后所成级数收敛，且其和不变． 推论 如果级数 1 n n u • = Â 按某一方法加括号之后所形成的级数是发散的，则级数 1 n n ku • = Â 必发散（性质 4 的逆否命题） ． 事实上，倘若原来级数收敛，则根据性质 4 知道，加括号后的级数就应该收敛了． 注意 如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛．例如，级数 (1-1) + (1-1) + L 收敛于 0，但去括号之后所得级数 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) n- n - + - + L + - + - + L 是发散的．这一事实也可以表述为“使级数加括号后收敛，但它不一定收敛” ． 性质 5 ( 级数收敛的必要条件) 如果级数 1 n n u • = Â 收敛，则它的一般项 n u 趋于零，即 lim 0 n n u Æ• = ．