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第7章 第二节 偏导数 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
一、偏导数定义及其计算法引例：研究弦在点xo处的振动速度与加速度，就是将振幅u(x,t)中的 x固定于 xo处,求u(xo,t)关于t的一阶导数与二阶导数u(xo,t)uu(x,t)Xo福X目录上页下页返回结束机动
一、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 u ( x , t ) 0 o x x u 中的 x 固定于 求 一阶导数与二阶导数. x0 处, ( , ) 0 u x t 将振幅 关于 t 的
定义1. 设函数 z= f(x,y)在点(xo,yo）的某邻域内f(xo + △x, yo)- f(xo, yo)极限limAxAr-0存在，贝则称此极限为函数z=f（x,y）在点（xo,yo）对xafOz的偏导数，记为zx (xo,yo) O x(xo,yo)0 x (xo, yo)fx(xo,yo); fi(xo,yo)f(xo + △x, yo)- f(xo, yo)注意：fx(xo,yo)= limAx△x-0df(x,yo)X=Xodx目录上页下页返回结束机动
定义1. z = f ( x, y ) 在点 存在, z f ( x, y ) 在 点 ( x , y ) 对 x 0 0 = 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内 ; ( , ) 0 0 x x y f x + x 0 0 x 则称此极限为函数 极限 设函数 f ( x0 ) = ( ) ( ) 0 0 f x + x − f x x 0 lim x→ x ; ( , ) 0 0 x x y z d 0 d x x x y = = ( , ) . 1 0 0 f x y x f x x y f x y x + − = → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y 注意 x :
同样可定义对的偏导数f(xo, yo +Ay) - f(xo, yof,(xo,yo) = limAy-0Aydf(xo,y)y=yody若函数z=f(x，）在域D内每一点（x，y）处对x或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数，也简称为OZof, zx, fe(x,y), f(x,y)偏导数，记为OxOx02. (, (, ay目录上页下页返回结束机动
同样可定义对 y 的偏导数 lim →0 = y ( , ) 0 0 f x y y 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , ( , ) , ( , ) 2 f x y f x y y ( , ) 0 f x ( , ) 0 − f x y 记为 y + y 0 0 y 或 y 偏导数存在 , , , , y z y f y z
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数例如,三元函数u=f(x，y,2)在点(x,,2)处对x的偏导数定义为(x+△x,y,z)-f(x,y,z)fx(x,y,z) = limAxAr-0fy(x, y,z) =?（请自己写出）f.(x, y,z)=?目录上页下页返回结束机动
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . x x + x f ( x, y, z) = ? y f ( x, y , z) = ? z x 偏导数定义为 (请自己写出)