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第9章 第三节 三重积分 一、三重积分的概念及性质 二、三重积分的计算
一、三重积分的概念及性质1.引例现在我们考虑求空间物体的质量问题设一物体占有空间区域 Q，在中每一点(x,y,z)处的体密度为u(x,y,z),，其中ux,y,z是？上的正值连续函数.试求该物体的质量M.类似二重积分解决问题的思想，采用解决方法：“分割,近似代替,近似求和,取极限将空间区域任意分割成(1)分割n个小闭区域2Ayi,Av2,..,AVn'目录上页下页返回结束机动
一、三重积分的概念及性质 1.引例 现在我们考虑求空间物体的质量问题． 设一物体占有空间区域 Ω, 连续函数． 在 Ω 中每一点 ( , , ) x y z 处的体密度为 μ( , , ), x y z 其中 μ( , , ) x y z 是 Ω 上的正值 试求该物体的质量 M. 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “分割,近似代替,近似求和,取极限”. 解决方法: (1) 分割 将空间区域 Ω 任意分割成 n 个小闭区域 Δ 1 2 ,Δ , ,Δ , n v v v
其中△i既表示第i个小闭区域，也表示它的体积。(2)近似代替在每个小闭区域2△Avi上任取一点（i,ni,Si)，当小闭Avi区域△i充分小时，密度可以近似(Ei,i,Si)看成不变的，且等于在点处的密度u(Ei,ni,Si).△yi的质量△m;可以因此，每个小闭区域近似地表示为△m;～u(i,li,Si)Avi(3)近似求和 n个小闭区域的质量之和，即物体的质EAmi ~ZM=量就近似等于和式u(Ei,li,Si)Avii-1i=1目录上页返回结束机动下页
其中 Δ i v 既表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积． Δ i v ( , , ) i i i ξ η ζ (2) 近似代替 在每个小闭区域 Δ i v 上任取一点 ( , , ), i i i ξ η ζ 当小闭 区域 Δ i v 充分小时， 看成不变的， 密度可以近似 且等于在点处的密度 ( , , ). μ i i i ξ η ζ 近似地表示为 因此，每个小闭区域 Δ i v 的质量 Δmi 可以 Δ ( , , )Δ . mi i i i i μ ξ η ζ v (3) 近似求和 量就近似等于和式 n 个小闭区域的质量之和，即物体的质 1 = Δ n i i = M m 1 ( , , )Δ . n i i i i i = μ ξ η ζ v
(4)取极限当各小闭区域直径中的最大值几趋于零时，对上述和式取极限即得所求物体质量为nM =limu(Si,ni,Si)Avi2→0 i=1类似于二重积分定义，给出三重积分定义目录上页下页返回结束机动
(4) 取极限 lim 0 1 ( , , )Δ . n i i i i λ i = μ ξ η ζ v → M = 当各小闭区域直径中的最大值 对上述和式取极限即得所求物体质量为 λ 趋于 零时， 类似于二重积分定义，给出三重积分定义．
2.三重积分的定义定义设f(x,y,z)是空间有界闭区域 上的有界函数,将任意分成 n个小闭区域△,△v2,,△vn,其中△v;既表示第i个小闭区域，又表示它的体积.在每个△vi中任取一点(Si,ni,Si)作积f(i,Ni,Si)△vi(i=1,2,,n),nMJf(Si,ni,Si)Avi.再作和如果当各小闭区域中直径i=1最大值2→0时这和式的极限存在，则称此极限为函数JI (x,y,z)dv,记作f(x,y,z)在闭区间Q上的三重积分.2即目录上页下页返回结束机动
2.三重积分的定义 定义 数, 将 Ω 任意分成 n 个小闭区域 设 f x y z ( , , ) 是空间有界闭区域 Ω 上的有界函 Δ 1 2 ,Δ , ,Δ , n v v v Δ i v 既表示第 i 个小闭区域, 又表示它的体积. 在每个 中任取一点 ( , , ) i i i ξ η ζ 作积 f ( , , ) ξi i i i η ζ Δv 再作和 1 ( , , )Δ . n i i i i i = f ξ η ζ v 最大值 λ → 0 时这和式的极限存在， f x y z ( , , ) 在闭区间 Ω 上的三重积分. 其中 ( = 1, 2, , ), i n 如果当各小闭区域中直径 则称此极限为函数 Δ i v 记作 Ω f x y z dv ( , , ) , 即