《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第8章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质

第一节二重积分的概念与性质第8章一、引例二、二重积分的定义与可积性三、二重积分的性质四、曲顶柱体体积的计算下页返回

第8章 三、二重积分的性质 第一节 二重积分的概念与性质 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算

一、引例z= f(x,y)1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体底：xoy面上的闭区域DD顶：连续曲面z=f(x,J)≥0侧面：以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面求其体积解法：类似定积分解决问题的思想“大化小，常代变，近似和，求极限目录上页返回结束机动下页

解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” D

1)“大化小"z=f(x,y)用任意曲线网分D为n个区域Ao1,No2, , Aon以它们为底把曲顶柱体分为n个f(Ek,nk)小曲顶柱体D(Ek,nk)2)“常代变DO在每个△中任取一点（k,nk),则Vk= f(5k, nk)ok(k =1,2,.".,n)3)“近似和”nAVk~f(5k, nk)AokVk=1k=-l目录上页下页返回结束机动

D 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域    n , , , 1 2  以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和”  =   n k k k k f 1 ( , )  ( , ) k k f   V f ( , ) (k 1, 2 , , n)  k   k  k  k =  中任取一点 则 小曲顶柱体  k ( , ) k  k 

“取极限”4定义的直径为(A0k)=max(/ PP2 /Pi,P2 EA0)令 =max((△o))z= f(x,y)1<k≤nnZJV = limf(Ek,nk)Aokf(Ek,nk)元-0k=1(Ek,nk)A水目录上页下页返回结束机动

4)“取极限”  ( k ) = max P1P2 P1 , P2   k  令 max  ( )  1 k k n  =      = → =  n k k k k V f 1 0 lim ( , )   ( , ) k k f    k ( , ) k  k 

2.平面薄片的质量有一个平面薄片，在xoy平面上占有区域D，其面密度为μ(x,y)EC计算该薄片的质量M若μ(x,)=μ(常数),设D的面积为，则M=μ:oV若μ(x,）非常数，仍可用D“大化小，常代变，近似和，求极限解决X1)“大化小Ao i,Ao 2, , Ao n用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域目录上页下页返回结束机动

2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为 , 则 M =   若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , , , ,  1  2   n 相应把薄片也分为小区域 . D y x