第二节常数项级数的审敛法第9章正项级数及其审敛法、二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛下页返回
第9章 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 一、正项级数及其审敛法 第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法8un若un≥0,则称为正项级数n=l8>部分和序列Sun收敛+定理1.正项级数n=1(n=1,2,.)有界SZ收敛，则Sn收敛，故有界证“一若unn=122C（Sn）单调递增un≥0，部分和数列8Z也收敛又已知（Sn）有界，故(Sn）收敛，从而unn=1目录上页下页返回结束机动
一、正项级数及其审敛法 若 0 , n u n=1 un 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “
88yn是设Z是两个正项级数定理2（比较审敛法）un?n=1ln=l且存在NeZ+,对一切n>N,有un≤kvn（常数k>0)则有88>Z也收敛：(1)若强级数Vn收敛，则弱级数unn=ln=100>>(2）若弱级数un发散，则强级数yn也发散n=ln=l证：因在级数前加、故不妨减有限项不改变其敛散性，设对一切neZ+,都有un≤kvn令Sn和αn分别表示弱级数和强级数的部分和，则有目录上页下页返回结束机动
都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
Sn≤kon8>则有= limn收敛，贝(1）若强级数Vn!n-00n=1因此对一切nEZ+，有Sn≤ko8Zun也收敛由定理 1 可知,弱级数n=1SP发散，！则有 lim Sn=00,un(2)若弱级数n→0n=18Z因此limαn=o0，这说明强级数Vnt也发散n>0n=1目录上页下页返回结束机动
(1) 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, (2) 若弱级数 则有 因此 这说明强级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数
例1.讨论p级数1++.. (常数p>0)的敛散性解:1）若 p≤l,因为对一切 nεZ+hpn88Z->而调和级数发散，由比较审敛法可知p级数n=inpnn=l发散目录上页下页返回结束机动
例1. 讨论 p 级数 + p + p + + p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因为对一切 而调和级数 =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 发散 . 发散