第三节幂级数第9章一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算下页返回
第9章 第三节 幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
函数项级数的概念设un（x）（n=1,2，）为定义在区间I上的函数，称8Zun(x)=ui(x)+u2(x)+...+un(x)+.n=1为定义在区间I上的函数项级数S对xoEI，若常数项级数un（xo）收敛，称xo为其收n=l敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域8若常数项级数un（xo）发散，称xo为其发散点所有n=1发散点的全体称为其发散域目录上页返回结束机动下页
一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称 x 为其发散点, u ( x) (n = 1, 2 , ) n 发散点的全体称为其发散域
在收敛域上，函数项级数的和是x的函数 S(x），称它为级数的和函数，并写成ZS(x) =un(x)n=l若用S，（x）表示函数项级数前n项的和，即n4Sn(x) =uk(x)k=1令余项rn(x)= S(x)- Sn(x)则在收敛域上有lim rn(x) = 0lim Sn(x)= S(x),n->00n->o0目录上页下页返回结束机动
为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它
8Exn =1+x+x? +...例如，等比级数一.n=0它的收敛域是(-1,1）,当xE(-1,1)时，有和函数XJhx1-xn=0它的发散域是（-0，-1]及[1，+），或写作|x|≥11n-n8Et"++又如，级数(x±0),当x=1时收敛2nn=0但当0<|x|±1时,lim un(x)=0,级数发散n>o可x=1所以级数的收敛域仅为目录上页下页返回结束机动
例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 (− , − 1 ] 及 [1，+ ）, 或写作 x 1 . 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数
幂级数及其收敛性二、上8Z形如an(x-xo)" =do +ai(x-xo)+a2(x-xo)2n=0...+an(x - xo)" +...其中数列an（n=0,l,)称的函数项级数称为幂级数为幂级数的系数下面着重讨论 xo=0 的情形,即8Zant"=ao +aix+ax"+..+anx"n=08Z1<1即是此种情形例如，幂级数1-xn=0目录上页下页返回结束机动
二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 , 1 1 1 0 − = = x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称