第四节 重积分的应用第8章一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力下页返回
第8章 第四节 重积分的应用 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力
1.能用重积分解决的实际问题的特点分布在有界闭域上的整体量所求量是对区域具有可加性2.用重积分解决问题的方法·用微元分析法（元素法）建立积分式·从定积分定义出发3.解题要点画出积分域选择坐标系、确定积分序定出积分限、计算要简便目录上页下页返回结束机动
1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 • 从定积分定义出发 建立积分式 • 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法
一、立体体积·曲顶柱体的顶为连续曲面z=f(x,y),（x,J)ED则其体积为V = J, (x, )dxdy·占有空间有界域Q的立体的体积为dxd ydz目录上页下页返回结束机动
一、立体体积 • 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 = D V f (x, y)dxd y • 占有空间有界域 的立体的体积为 V = dxd ydz
例1.求曲面 Si:z=x2+y2+1任一点的切平面与曲面S2:z=x2+y~所围立体的体积V解：曲面 S在点（xo，Jo，zo）的切平面方程为z = 2xox+2yoy+1-x - yo它与曲面 z=x2+2的交线在 xoy面上的投影为(x-xo）2+(y-yo）2=l(记所围域为D）V= [f,[2xox+2yoy+1-xo? - yo2-x? - y?]d xd yJ,[1-((x - xo)? +(y- yo)?)]dxd y令x-xo =rcos, -yo=rsin2元元J,r?.rd rd@=n-deA.2C目录上页返回结束机动下页
任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 解: 曲面 S1 的切平面方程为 2 0 2 0 0 0 z = 2 x x + 2 y y + 1 − x − y 它与曲面 的交线在 xoy 面上的投影为 ( ) ( ) 1 2 0 2 x − x0 + y − y = V x y D d d = 2 2 − x − y 2 0 2 0 0 0 2 x x + 2 y y + 1 − x − y x y D 1 d d = − ( ) 2 0 2 0 ( x − x ) + ( y − y ) = − cos , sin 0 0 令 x − x = r y − y = r 2 = (记所围域为D ) 在点 D r r d r d 2 例1. 求曲面 = − d r d r 1 0 3 2 0
例2.求半径为α的球面与半顶角为α的2ai内接锥面所围成的立体的体积:M解：在球坐标系下空间立体所占区域为0≤r≤2acosa2:0≤≤αVX0≤0≤2元dy=rsinoded@d则立体体积为2acosp2元rα2v= JI.de1drdxdydzsinodgJOJO16元a4元aQcos'psin pd p1-cosα303目录上页下页返回结束机动
x o y z 2a 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 : 则立体体积为 V = dxd ydz 2 cos 0 2 d a r r cos sin d 3 1 6 0 3 3 = a (1 cos ) 3 4 4 3 = − a 0 r 2a cos 0 0 2 0 sin d = 2 0 d d v r sin d d dr 2 = r M