《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第7章 多元微积分学 第五节 隐函数的求导方法

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第7章 第五节 隐函数的求导方法 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数

本节讨论：1）方程在什么条件下才能确定隐函数x~+/y+C=0例如，方程当C<0时,能确定隐函数当C>0时，不能确定隐函数2）在方程能确定隐函数时，可微性研究其连续性、及求导方法问题目录上页下页返回结束机动

本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题

一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1. 设函数 F(x,y)在点 P(xo,yo)的某一邻域内满足具有连续的偏导数② F(xo, yo) = 0;③ F,(xo, yo) + 0则方程 F(x,J)=0在点xo 的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数y=f(x），满足条件yo=f(xo）,并有连续导数dy（隐函数求导公式dx定理证明从略，仅就求导公式推导如下：目录上页返回结束机动下页

一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 ( , ) 0 ; F x0 y0 = 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 y x F F x y = − d d (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ( , ) 0 Fy x0 y0  ② ③ 满足条件 导数

设y=f(x)为方程F(x,)=0所确定的隐函数，则F(x,f(x))=0两边对x求导aF,oFdy0oxoydx在(xo，yo)的某邻域内 F,≠0HdydxT目录上页下页返回结束机动

两边对 x 求导 y x F F x y = − d d  0 在 的某邻域内 Fy 则

则还有若F（x，y）的二阶偏导数也都连续,F-FK二阶导数：Y1dxdxaxxFF-FFF,F,-FyE(-F)ixviyvxixxxi17V4FxF2-2Fx,F,F,+FyyFx目录上页下页返回结束机动

若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, = 2 2 d d x y 2 y xx y yx x F F F − F F = − 3 2 2 2 y xx y x y x y y y x F F F − F F F + F F = − y x F F − ( ) y x F F y −   + ( ) 2 y x y x y y y y x F F F F F F F − − − 二阶导数 : ( ) y x F F x −   x y x x y d d 则还有