第四节函数展开成幂级数第9章两类问题在收敛域内0求和anrn和函数S(x)幂级数之展开n=0本节内容一、泰勒级数二、函数展开成幂级数下页返回
第9章 第四节 函数展开成幂级数 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒级数若函数f(x)在xo的某邻域内具有 n +1 阶导数,则在该邻域内有：f(x) = f(x0)+ f(xo)(x-x0)+ "(xo)(x-Xo2!(n(xo)(x - xo)" + R,(x)n!此式称为f(x）的n阶泰勒公式，其中f(n+1)(E))n+1R,(x)=（三在x与xo之间）(x-Xo(n + 1)!称为拉格朗日余项目录上页下页返回结束机动
一、泰勒 级数 f ( x) = f ( x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − R (x) + n 其中 Rn (x) = ( 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 :
若函数f(x）在xo的某邻域内具有任意阶导数，则称f"xof(xo)+ f(xo)(x -xo)一Xo2!XoX一Xn!为f(x）的泰勒级数当xo=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数待解决的问题1)对此级数，它的收敛域是什么？2）在收敛域上，和函数是否为f(x）？目录上页下页返回结束机动
f (x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数
定理1.设函数f(x)在点xo的某一邻域 U(xo)内具有各阶导数，则f（x）在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f（x）的泰勒公式中的余项满足lim Rn(x)= 0no证明： f(x)=(x-xo)n, xeU(xo)n!n=0(k）X(Xo）>令Sn+1(x)=x-xk!k=0f(x)= Sn+i(x)+ R,(x)lim R,(x)= lim[f(x)- Sn+i(x)]= O, xU(xo)n0n→0目录上页下页返回结束机动
定理1 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim ( ) = 0. → R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x = − = 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = → lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n + → − = 0 , ( ) 0 x x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 = − = + ( ) 0 x x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有
定理2.若f(x）能展成x的幂级数则这种展开式是唯一的，且与它的麦克劳林级数相同证：设f(x）所展成的幂级数为f(x)=ao +aix+ax"+...+anx" +.., xE(-R,R)则ao = f(0)f'(x) = a + 2a2x +. + na, x"-1ai = f'(0)f"(x) = 2la2 +...+ n(n - )a,xn-2a2 ="(0)an =f(n)(0)f(n)(x)= n!an +...显然结论成立目录上页下页返回结束机动
定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 ( ) 2 ; 1 f x = a1 + a2 x + + n an x n− + (0) 1 a = f ( ) 2! ( 1) ; 2 f x = a2 + + n n − an x n− + (0) 2! 1 2 a = f ( ) ! ; f (n) x = n an + (0) ( ) ! 1 n n n a = f 显然结论成立 . (0) 0 a = f